Об эффективной реализации и возможностях метода коллокации и наименьших квадратов решения эллиптических уравнений второго порядка

Авторы

  • В.А. Беляев Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН https://orcid.org/0000-0001-5901-2880

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r313

Ключевые слова:

метод коллокации и наименьших квадратов, повышенный порядок точности, уравнение Пуассона, уравнение типа диффузии-конвекции, большие градиенты, разрыв решения, предобуславливание, подпространства Крылова, многосеточный комплекс, распараллеливание

Аннотация

Исследованы возможности численного метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) на примерах кусочно-полиномиального решения задачи Дирихле для уравнений Пуассона и типа диффузии-конвекции с особенностями в виде больших градиентов и разрыва решения на границах раздела двух подобластей. Предложены и реализованы новые hp-варианты метода КНК, основанные на присоединении внутри области малых и/или вытянутых нерегулярных ячеек, отсекаемых криволинейной границей раздела от исходных прямоугольных ячеек сетки, к соседним самостоятельным ячейкам. Выписываются с учетом особенности условия согласования между собой кусков решения в ячейках, примыкающих с разных сторон к границе раздела. Проведено сравнение результатов, полученных методом КНК и другими высокоточными методами. Показаны преимущества и достоинства метода КНК. Для ускорения итерационного процесса применены современные алгоритмы и методы: предобуславливание; свойства локальной системы координат в методе КНК; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; операция продолжения на многосеточном комплексе; распараллеливание. Исследовано влияние этих способов на количество итераций и время расчетов при аппроксимации полиномами различных степеней.

Автор

В.А. Беляев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск, Российская Федерация
• младший научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010).doi 10.1134/S0965542510100040].
    https://link.springer.com/article/10.1134/S0965542510100040
  2. E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals,” Appl. Math. Comput. 363 (2019). doi 10.1016/j.amc.2019.124644.
    https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300319306368
  3. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory,” Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31-43 (2013).
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21118914
  4. V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Solving the Biharmonic Equation with High Order Accuracy in Irregular Domains by the Least Squares Collocation Method,” Vychisl. Metody Programm. 19 (4), 340-355 (2018). doi 10.26089/NumMet.v19r431.
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=36735987
  5. V. P. Shapeev, L. S. Bryndin, and V. A. Belyaev, “Solving Elliptic Equations in Polygonal Domains by the Least Squares Collocation Method,” Vestn. Yuzhn. Ural. Gos. Univ. Ser. Mat. Model. Programm. 12 (3), 140-152 (2019). doi 10.14529/mmp190312.
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=41265010
  6. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and A. N. Cherepanov, “Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert,” Int. J. Heat Mass Transf. 99, 711-720 (2016). doi 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.04.019.
    https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0017931015314101
  7. V. V. Beljaev and V. P. Shapeev, “The Collocation and Least Squares Method onAdaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000).
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13026317
  8. V. P. Shapeev, S. K. Golushko, V. A. Belyaev, et al., “New Versions of the Least-Squares Collocation Method for Solving Differential and Integral Equations,’’ J. Phys.: Conf. Ser. 1715 (2021), 1-8. doi 10.1088/1742-6596/1715/1/012031.
    https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1715/1/012031
  9. V. A. Belyaev, “Solving a Poisson Equation with Singularities by the Least-Squares Collocation Method,” Sib. Zh. Vych. Mat. 23 (3), 249-263 (2020). doi 10.15372/SJNM20200302 [Numer. Anal. Appl. 2020. 13 (3), 207-218 (2020). doi 10.1134/S1995423920030027].
    https://link.springer.com/article/10.1134/S1995423920030027
  10. J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis (CRC Press, Boca Raton, 2003).
  11. A. M. Blokhin and B. V. Semisalov, “Simulation of the Stationary Nonisothermal MHD Flows of Polymeric Fluids in Channels with Interior Heating Elements,” Sib. Zh. Ind. Mat. 23 (2), 17-40 (2020). doi 10.33048/SIBJIM.2020.23.202 [J. Appl. Ind. Math. 14 (2), 222-241 (2020). doi 10.1134/S1990478920020027].
    https://link.springer.com/article/10.1134/S1990478920020027
  12. Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (SIAM, Philadelphia, 2011). doi 10.1137/1.9781611970739.
    https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611970739
  13. R. P. Fedorenko, Introduction to Computational Physics (Moscow Inst. Phys. Technol., Moscow, 1994) [in Russian].
  14. M. Ramšak and L. Škerget, “A Subdomain Boundary Element Method for High-Reynolds Laminar Flow Using Stream Function-Vorticity Formulation,” Int. J. Numer. Meth. Fluids. 46 (8), 815-847 (2004). doi 10.1002/fld.776.
    https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/fld.776
  15. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, “An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations,” Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007).
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=12878946
  16. W. J. Coirier and K. G. Powell, “An Accuracy Assessment of Cartesian-Mesh Approaches for the Euler Equations,” J. Comput. Phys. 117 (1), 121-131 (1995). 
    doi 10.1006/jcph.1995.1050
  17. G. M. Drozdov and V. P. Shapeev, “CAS Application to the Construction ofHigh-Order Difference Schemes for Solving Poisson Equation,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Cham, 2014), Vol. 8660, pp. 99-110.
    doi 10.1007/978-3-319-10515-4_8
  18. V. P. Shapeev and A. V. Shapeev, “Solutions of the Elliptic Problems with Singularities Using FiniteDifference Schemes with High Order of Approximation,” Vychisl. Tekhnol. 11 (special issue, part 2), 84-91 (2006).
    https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15281780
  19. Y. A. Sabawi, Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Interface Problems , PhD Thesis (University of Leicester, Leicester, 2016).
  20. A. Cangiani, E. H. Georgoulis, and Y. A. Sabawi, “Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Interface Problems,” Math. Comp. 87, 2675-2707 (2018). doi 10.1090/mcom/3322.
    https://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-314/S0025-5718-2018-03322-1/
  21. J. M. Ortega, Introduction to Parallel and Vector Solution of Linear Systems (Plenum, New York, 1988; Mir, Moscow, 1991).
    doi 10.1007/978-1-4899-2112-3
  22. H. Guo, Z. Zhang, and Q. Zou, “A C^0 Linear Finite Element Method for Biharmonic Problems,” J. Sci. Comput. 74, 1397-1422 (2018). doi 10.1007/s10915-017-0501-0.
    https://link.springer.com/article/10.1007/s10915-017-0501-0

Загрузки

Опубликован

14-09-2021

Как цитировать

Беляев В. Об эффективной реализации и возможностях метода коллокации и наименьших квадратов решения эллиптических уравнений второго порядка // Вычислительные методы и программирование. 2021. 22. 211-229. doi 10.26089/NumMet.v22r313

Выпуск

Том 22 (2021): Выпуск 3.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Лицензия

Copyright (c) 2021 В.А. Беляев

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.