P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica

Аннотация

Предложена и реализована p-версия метода коллокации численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В данной реализации осуществлены возможности варьирования степени полинома в полиномиальном представлении приближенного решения уравнений и варьирования количества узлов используемой квадратурной формулы Гаусса для влияния на точность решения. Исследовано влияние числа точек коллокации, использованных для аппроксимации решения, и количества узлов квадратурной формулы Гаусса на число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к решению которой сводится построение приближенного решения, и на его точность путем численного решения примеров, в том числе приведенных в известных изданиях. Предложенный алгоритм реализован на языке программного пакета Mathematica. Во всех рассмотренных примерах предложенная версия метода коллокации позволила достичь точности решения уравнений, близкой к уровню машинных ошибок округления. Программный продукт, реализующий предложенную p-версию, получился достаточно компактным, а метод оказался экономичным: машинное время, необходимое для решения рассмотренных в работе задач, не превышало 3 секунды работы персонального компьютера. Описан алгоритм, позволяющий оценить точность приближенного решения по предложенной p-версии метода в тех случаях, когда точное решение интегрального уравнения неизвестно.