P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica

Авторы

  • В.П. Шапеев Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН) https://orcid.org/0000-0001-6761-7273
  • Е.В. Ворожцов Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v20r101

Ключевые слова:

интегральное уравнение Фредгольма второго рода, метод коллокации, число обусловленности, квадратура Гаусса.

Аннотация

Предложена и реализована p-версия метода коллокации численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В данной реализации осуществлены возможности варьирования степени полинома в полиномиальном представлении приближенного решения уравнений и варьирования количества узлов используемой квадратурной формулы Гаусса для влияния на точность решения. Исследовано влияние числа точек коллокации, использованных для аппроксимации решения, и количества узлов квадратурной формулы Гаусса на число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к решению которой сводится построение приближенного решения, и на его точность путем численного решения примеров, в том числе приведенных в известных изданиях. Предложенный алгоритм реализован на языке программного пакета Mathematica. Во всех рассмотренных примерах предложенная версия метода коллокации позволила достичь точности решения уравнений, близкой к уровню машинных ошибок округления. Программный продукт, реализующий предложенную p-версию, получился достаточно компактным, а метод оказался экономичным: машинное время, необходимое для решения рассмотренных в работе задач, не превышало 3 секунды работы персонального компьютера. Описан алгоритм, позволяющий оценить точность приближенного решения по предложенной p-версии метода в тех случаях, когда точное решение интегрального уравнения неизвестно.

Авторы

В.П. Шапеев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• главный научный сотрудник

Е.В. Ворожцов

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• ведущий научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. J. H. Ferziger and M. Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics (Springer, Berlin, 2002).
  2. U. van Rienen, Numerical Methods in Computational Electrodynamics (Springer, Berlin, 2013).
  3. A. B. Samokhin, Volume Integral equations: Methods and Algorithms (Moscow Inst. Radio Eng., Moscow, 2011) [in Russian].
  4. A. N. Tikhonov, V. Ya. Arsenin, and A. A. Timonov, Mathematical Problems of Computer Tomography (Nauka, Moscow, 1987) [in Russian].
  5. M. M. Lavrentiev, A. V. Avdeev, M. M. Lavrentiev, Jr., and V. I. Priimenko, Inverse Problems of Mathematical Physics (VSP Publ., Utrecht, 2003).
  6. M. Zaslavsky, V. Druskin, S. Davydycheva, et al., “Hybrid Finite-Difference Integral Equation Solver for 3D Frequency Domain Anisotropic Electromagnetic Problems,” Geophysics 76 (2), F123-F137 (2011).
  7. W. K. Pratt, Digital Image Processing (Wiley-Interscience, New York, 2001).
  8. A. F. Verlan’ and V. S. Sizikov, Integral Equations: Methods, Algorithms, Programs (Naukova Dumka, Kiev, 1986) [in Russian].
  9. R. D. Russell and L. F. Shampine, “A Collocation Method for Boundary Value Problems,” Numer. Math. 19 (1), 1-28 (1972).
  10. U. M. Ascher, R. M. M. Mattheij, and R. D. Russell, Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations (SIAM Press, Philadelphia, 1995).
  11. U. Ascher, J. Christiansen, and R. D. Russell, “Collocation Software for Boundary-Value ODEs,” ACM Trans. Math. Software. 7 (2), 209-222 (1981).
  12. V. Shapeev, “Collocation and Least Residuals Method and Its Applications,” EPJ Web of Conferences 108 (2016). doi 10.1051/epjconf/201610801009
  13. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010)].
  14. V. P. Shapeev, E. V. Vorozhtsov, V. I. Isaev, and S. V. Idimeshev, “The Method of Collocations and Least Residuals for Three-Dimensional Navier-Stokes Equations,” Vychisl. Metody Programm. 14, 306-322 (2013).
  15. E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “On Combining the Techniques for Convergence Acceleration of Iteration Processes during the Numerical Solution of Navier-Stokes Equations,” Vychisl. Metody Programm. 18, 80-102 (2017).
  16. D. Kharenko, C. Padovani, A. Pagni, et al., “Free Longitudinal Vibrations of Bimodular Beams: A Comparative Study,” Int. J. Str. Stab. Dyn. 11 (1), 23-56 (2011).
  17. S. Wolfram, The Mathematica Book (Wolfram Media, Champaign, 2003).
  18. P. Knupp and K. Salari, Verification of Computer Codes in Computational Science and Engineering (CRC Press, Boca Raton, 2002).
  19. P. J. Roache, “Code Verification by the Method of Manufactured Solutions,” J. Fluids Eng. 124 (1), 4-10 (2002).
  20. I. B. Petrov and A. I. Lobanov, Lectures on Computational Mathematics (Binom, Moscow, 2006) [in Russian].

Загрузки

Опубликован

18-01-2019

Как цитировать

Шапеев В.П., Ворожцов Е.В. P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica // Вычислительные методы и программирование. 2019. 20. 1-11. doi 10.26089/NumMet.v20r101

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)