DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v19r431

Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов

Авторы

  • В.П. Шапеев
  • В.А. Беляев

Ключевые слова:

метод коллокации и наименьших квадратов
неоднородные бигармонические уравнения
повышенный порядок аппроксимации
нерегулярные области
двойные сплайны

Аннотация

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения неоднородного бигармонического уравнения. Дифференциальная задача методом КНК проектируется в пространство полиномов четвертой и восьмой степеней. Реализованный алгоритм применяется в нерегулярных областях, границы которых заданы аналитическими кривыми, в частности сплайнами. Исходная нерегулярная область включается в прямоугольник, который покрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. На границе области используется «одинарный» слой нерегулярных ячеек (н-ячеек), отсеченных границей от прямоугольных граничных ячеек начальной регулярной сетки. Все н-ячейки разбиваются на два класса: самостоятельные, в которых находится центр содержащих их граничных ячеек, и несамостоятельные, центр содержащих их граничных ячеек которых расположен вне области. Вытянутые несамостоятельные граничные н-ячейки присоединяются к соседним самостоятельным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы «законтурные» (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приближенной задачи по сравнению со случаем, когда несамостоятельные н-ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована «законтурная» часть граничных ячеек. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда решение известно. Приведено сравнение полученных результатов с известными результатами других авторов, которые использовали конечно-разностный метод (FDM, Finite Difference Method) повышенного порядка аппроксимации. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропных тонких пластин нерегулярных форм.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2018-12-24

Выпуск

Том 19 (2018): Выпуск 4.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

В.П. Шапеев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• главный научный сотрудник

В.А. Беляев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• старший лаборант

Библиографические ссылки

  1. L. W. Ehrlich and M. M. Gupta, “Some Difference Schemes for the Biharmonic Equation,” SIAM J. Numer. Anal. 12 (5), 773-790 (1975).
  2. A. Mayo, “The Fast Solution of Poisson’s and the Biharmonic Equations on Irregular Regions,” SIAM J. Numer. Anal. 21 (2), 285-299 (1984).
  3. J. W. Stephenson, “Single Cell Discretizations of Order Two and Four for Biharmonic Problems,” J. Comput. Phys. 55 (1), 65-80 (1984).
  4. J. Shen, “Efficient Spectral-Galerkin Method II. Direct Solvers of Second- and Fourth-Order Equations by Using Chebyshev Polynomials,” SIAM J. Sci. Comput. 16 (1), 74-87 (1995).
  5. I. Altas, J. Dym, M. M. Gupta, and R. P. Manohar, “Multigrid Solution of Automatically Generated High-Order Discretizations for the Biharmonic Equation,” SIAM J. Sci. Comput. 19 (5), 1575-1585 (1998).
  6. M.-C. Lai and H.-C. Liu, “Fast Direct Solver for the Biharmonic Equation on a Disk and Its Application to Incompressible Flows,” Appl. Math. Comput. 164 (3), 679-695 (2005).
  7. G. Chen, Z. Li, and P. Lin, “A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and Its Application to an Incompressible Stokes Flow,” Adv. Comput. Math. 29 (2), 113-133 (2008).
  8. M. Ben-Artzi, J.-P. Croisille, and D. Fishelov, “A Fast Direct Solver for the Biharmonic Problem in a Rectangular Grid,” SIAM J. Sci. Comput. 31 (1), 303-333 (2008).
  9. M. Ben-Artzi, I. Chorev, J.-P. Croisille, and D. Fishelov, “A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains,” SIAM J. Numer. Anal. 47 (4), 3087-3108 (2009).
  10. S. C. Brenner, “An Optimal-Order Nonconforming Multigrid Method for the Biharmonic Equation,” SIAM J. Numer. Anal. 26 (5), 1124-1138 (1989).
  11. A. Mayo and A. Greenbaum, “Fast Parallel Iterative Solution of Poisson’s and the Biharmonic Equations on Irregular Regions,” SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13 (1), 101-118 (1992).
  12. M. R. Hanisch, “Multigrid Preconditioning for the Biharmonic Dirichlet Problem,” SIAM J. Numer. Anal. 30 (1), 184-214 (1993).
  13. C. Davini and I. Pitacco, “An Unconstrained Mixed Method for the Biharmonic Problem,” SIAM J. Numer. Anal. 38 (3), 820-836 (2000).
  14. Y. Jiang, B. Wang, and Y. Xu, “A Fast Fourier-Galerkin Method Solving a Boundary Integral Equation for the Biharmonic Equation,” SIAM J. Numer. Anal. 52 (5), 2530-2554 (2014).
  15. M.-C. Lai and J.-M. Tseng, “A Formally Fourth-Order Accurate Compact Scheme for 3D Poisson Equation in Cylindrical Coordinates,” J. Comput. Appl. Math. 201 (1), 175-181 (2007).
  16. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “Application of the Method of Collocations and Least Residuals to the Solution of the Poisson Equation in Polar Coordinates,” J. Multidiscip. Eng. Sci. Technol. 2 (9), 2553-2562 (2015).
  17. V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Solving Boundary Value Problems for Partial Differential Equations in Triangular Domains by the Least Squares Collocation Method,” Vychisl. Metody Programm. 19, 96-111 (2018).
  18. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “The Collocation and Least Squares Method on Adaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000).
  19. V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Versions of High Order Accuracy Collocation and Least Residuals Method in the Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 21 (5), 95-110 (2016).
  20. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “The Versions of Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Trapezoidal Domains,” Vychisl. Tekhnol. 22 (4), 22-42 (2017).
  21. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Versions of the Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Convex Quadrangular Domains,” Model. Anal. Inform. Sist. 24 (5), 629-648 (2017).
  22. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Versions of the Collocation and Least Squares Method for Solving Biharmonic Equations in Non-Canonical Domains,” AIP Conf. Proc. 1893 (2017).
    doi 10.1063/1.5007560
  23. V. Shapeev, V. Belyaev, S. Golushko, and S. Idimeshev, “New Possibilities and Applications of the Least Squares Collocation Method,” EPJ Web of Conf. 173 (2018).
    doi 10.1051/epjconf/201817301012
  24. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Solving the Dirichlet Problem by the Least Squares Collocation Method in a Domain with a Discrete Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 23 (3), 15-30 (2018).
  25. A. G. Sleptsov, “Collocation Grid Solution of Elliptic Boundary Value Problems,” Modelir. Mekhan. 5 (2), 101-126 (1991).
  26. L. G. Semin, A. G. Sleptsov, and V. P. Shapeev, “Method of Collocations-Least Squares for Stokes Equations,” Vychisl. Tekhnol. 1 (2), 90-98 (1996).
  27. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, “An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations,” Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007).
  28. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “Development of the Collocations and Least Squares Method,” Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN 14 (1), 41-60 (2008) [Proc. Steklov Inst. Math. 261 (Suppl. 1), S87-S106 (2008)].
  29. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010)].
  30. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory,” Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31-43 (2013).
  31. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Development and Application of Collocations and Least Residuals Method to the Solution of Problems in Mechanics of Anisotropic Laminated Plates,” Vychisl. Tekhnol. 19 (5), 24-36 (2014).
  32. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of the Bürgers and Korteweg-de Vries-Bürgers Equations,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Cham, 2014), Vol. 8660, pp. 432-446.
  33. E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “On Combining the Techniques for Convergence Acceleration of Iteration Processes During the Numerical Solution of Navier-Stokes Equations,” Vychisl. Metody Programm. 18, 80-102 (2017).
  34. Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (Manchester Univ. Press, Manchester, 1991).
  35. R. P. Fedorenko, “The Speed of Convergence of One Iterative Process,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 4 (3), 559-564 (1964) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 4 (3), 227-235 (1964)].
  36. B.-N. Jiang and L. A. Povinelli, “Least-Squares Finite Element Method for Fluid Dynamics,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 81 (1), 13-37 (1990).
  37. C. L. Chang and B.-N. Jiang, “An Error Analysis of Least-Squares Finite Element Method of Velocity-Pressure-Vorticity Formulation for Stokes Problem,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 84 (3), 247-255 (1990).
  38. P. B. Bochev and M. D. Gunzburger, Least-Squares Finite Element Methods (Springer, New York, 2009).
  39. H. Chen, C. Min, and F. Gibou, “A Supra-Convergent Finite Difference Scheme for the Poisson and Heat Equations on Irregular Domains and Non-Graded Adaptive Cartesian Grids,” J. Sci. Comput. 31 (1-2), 19-60 (2007).
  40. X.-D. Liu, R. P. Fedkiw, and M. Kang, “A Boundary Condition Capturing Method for Poisson’s Equation on Irregular Domains,” J. Comput. Phys. 160 (1), 151-178 (2000).
  41. F. Gibou and R. Fedkiw, “A Fourth Order Accurate Discretization for the Laplace and Heat Equations on Arbitrary Domains, with Applications to the Stefan Problem,” J. Comput. Phys. 202 (2), 577-601 (2005).
  42. A. Friedman, Partial Differential Equations of Parabolic Type (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964; Mir, Moscow, 1968).
  43. A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1977, Dover, New York, 2011).
  44. V. B. Barakhnin and V. P. Shapeev, Introduction to Numerical Analysis (Lan’, Moscow, 2005) [in Russian].
  45. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells (McGraw-Hill, New York, 1959; Fizmatgiz, Moscow, 1963).