Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов

Авторы

  • В.П. Шапеев Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН) https://orcid.org/0000-0001-6761-7273
  • В.А. Беляев Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v19r109

Ключевые слова:

метод коллокации и наименьших квадратов, краевая задача, треугольная область, повышенный порядок аппроксимации, уравнение Пуассона, бигармоническое уравнение

Аннотация

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными (PDE, Partial Differential Equations) в треугольных областях. Реализация этого подхода и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнения Пуассона и бигармонического уравнения. Решение второго уравнения с повышенной точностью использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной треугольной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНК проектируются в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписываются точно на границе расчетной области, что позволяет теоретически неограниченно повышать порядок точности метода КНК. В новом варианте используются регулярная сетка с прямоугольными ячейками в области решения задачи и на границе области «одинарный» слой нерегулярных ячеек, отсеченных границей от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки. Треугольные нерегулярные граничные ячейки присоединяются к соседним четырехугольным или пятиугольным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы «законтурные» (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда треугольные ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована «законтурная» часть граничных ячеек. Показано преимущество рассматриваемого подхода перед подходом с применением отображения треугольной области на прямоугольную. В численных экспериментах по анализу сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.

Авторы

В.П. Шапеев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• главный научный сотрудник

В.А. Беляев

Библиографические ссылки

  1. A. G. Sleptsov, “Collocation Grid Solution of Elliptic Boundary Value Problems,” Modelir. Mekhan. 5 (2), 101-126 (1991).
  2. V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Versions of High Order Accuracy Collocation and Least Residuals Method in the Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 21 (5), 95-110 (2016).
  3. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “The Versions of Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Trapezoidal Domains,” Vychisl. Tekhnol. 22 (4), 22-42 (2017).
  4. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Versions of the Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Convex Quadrangular Domains,” Model. Anal. Inform. Sist. 24 (5), 629-648 (2017).
  5. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “Versions of the Collocation and Least Squares Method for Solving Biharmonic Equations in Non-Canonical Domains,” AIP Conf. Proc. 1893 (2017). doi 10.1063/1.5007560
  6. V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, “The Collocation and Least Squares Method on Adaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000).
  7. H. Chen, C. Min, and F. Gibou, “A Supra-Convergent Finite Difference Scheme for the Poisson and Heat Equations on Irregular Domains and Non-Graded Adaptive Cartesian Grids,” J. Sci. Comput. 31 (1-2), 19-60 (2007).
  8. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “Application of the Method of Collocations and Least Residuals to the Solution of the Poisson Equation in Polar Coordinates,” J. Multidiscip. Eng. Sci. Technol. 2 (9), 2553-2562 (2015).
  9. M.-C. Lai and J.-M. Tseng, “A Formally Fourth-Order Accurate Compact Scheme for 3D Poisson Equation in Cylindrical Coordinates,” J. Comput. Appl. Math. 201 (1), 175-181 (2007).
  10. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory,” Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31-43 (2013).
  11. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Development and Application of Collocations and Least Residuals Method to the Solution of Problems in Mechanics of Anisotropic Laminated Plates,” Vychisl. Tekhnol. 19 (5), 24-36 (2014).
  12. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, “An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations,” Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007).
  13. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “Development of the Collocations and Least Squares Method,” Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN 14 (1), 41-60 (2008) [Proc. Steklov Inst. Math. 261 (Suppl. 1), S87-S106 (2008)].
  14. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010)].
  15. V. Shapeev, “Collocation and Least Residuals Method and Its Applications,” EPJ Web of Conferences 108 (2016). doi: 10.1051/epjconf/201610801009
  16. R. P. Fedorenko, “The Speed of Convergence of One Iterative Process,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 4 (3), 559-564 (1964) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 4 (3), 227-235 (1964)].
  17. Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (Manchester Univ. Press, Manchester, 1991).
  18. A. G. Sleptsov, “On Convergence Acceleration of Linear Iterations, II,” Modelir. Mekhan. 3 (5), 118-125 (1989).
  19. E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “On Combining the Techniques for Convergence Acceleration of Iteration Processes During the Numerical Solution of Navier-Stokes Equations,” Vychisl. Metody Programm. 18, 80-102 (2017).
  20. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells (McGraw-Hill, New York, 1959; Fizmatgiz, Moscow, 1963).

Загрузки

Опубликован

2018-03-15

Как цитировать

Шапеев В.П., Беляев В.А. Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов // Вычислительные методы и программирование. 2018. 19. 96-111. doi 10.26089/NumMet.v19r109

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)