Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов

Аннотация

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными (PDE, Partial Differential Equations) в треугольных областях. Реализация этого подхода и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнения Пуассона и бигармонического уравнения. Решение второго уравнения с повышенной точностью использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной треугольной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНК проектируются в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписываются точно на границе расчетной области, что позволяет теоретически неограниченно повышать порядок точности метода КНК. В новом варианте используются регулярная сетка с прямоугольными ячейками в области решения задачи и на границе области «одинарный» слой нерегулярных ячеек, отсеченных границей от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки. Треугольные нерегулярные граничные ячейки присоединяются к соседним четырехугольным или пятиугольным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы «законтурные» (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда треугольные ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована «законтурная» часть граничных ячеек. Показано преимущество рассматриваемого подхода перед подходом с применением отображения треугольной области на прямоугольную. В численных экспериментах по анализу сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.