Оценки скорости сходимости и погрешности разностных схем решения линейной некорректной задачи Коши второго порядка

Авторы

  • М.М. Кокурин Марийский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v18r428

Ключевые слова:

Keywords: ill-posed Cauchy problem, Banach space, finite-difference scheme, rate of convergence, error estimate, operator calculus, sectorial operator, interpolation of Banach spaces, finite-dimensional approximation

Аннотация

Изучаются конечно-разностные схемы решения некорректных задач Коши для линейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка в банаховом пространстве. Получены равномерные по времени оценки скорости сходимости и погрешности этих схем при наложении на искомое решение условия истокопредставимости. Найдены близкие друг к другу необходимые и достаточные условия в терминах показателя истокопредставимости для сходимости класса схем со степенной скоростью относительно шага дискретизации. Построены и изучены схемы полной дискретизации некорректных задач Коши второго порядка, сочетающие полудискретизацию по времени с дискретной аппроксимацией пространства и оператора.

Автор

М.М. Кокурин

Марийский государственный университет,
физико-математический факультет
ул. Машиностроителей, 15, 424002, Йошкар-Ола
• преподаватель

Библиографические ссылки

  1. S. G. Krein, Linear Differential Equations in Banach Space (Nauka, Moscow, 1967; Amer. Math. Soc., Providence, 1971).
  2. V. K. Ivanov, I. V. Mel’nikova, and A. I. Filinkov, Differential-Operator Equations and Ill-Posed Problems (Nauka, Moscow, 1995) [in Russian].
  3. M. M. Kokurin, “Difference Schemes for Solving the Cauchy Problem for a Second-Order Operator Differential Equation,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 54 (4), 569-584 (2014) [Comput. Math. Math. Phys. 54 (4), 582-597 (2014)].
  4. A. B. Bakushinskii, “Difference Schemes for the Solution of Ill-Posed Abstract Cauchy Problems,” Differ. Uravn. 7 (10), 1876-1885 (1971).
  5. A. B. Bakushinskii, “Difference Methods of Solving Ill-Posed Cauchy Problems for Evolution Equations in a Complex B-Space,” Differ. Uravn. 8 (9), 1661-1668 (1972).
  6. A. B. Bakushinskii, M. M. Kokurin, and M. Yu. Kokurin, “On a Class of Finite-Difference Schemes for Solving Ill-Posed Cauchy Problems in Banach Spaces,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 52 (3), 483-498 (2012) [Comput. Math. Math. Phys. 52 (3), 411-426 (2012)].
  7. M. M. Kokurin, “Improvement of the Rate of Convergence Estimates for Some Classes of Difference Schemes for Solving an Ill-Posed Cauchy Problem,” Vychisl. Metody Programm. 14, 58-76 (2013).
  8. A. B. Bakushinskii, M. Yu. Kokurin, and V. V. Klyuchev, “Convergence Rate Estimation for Finite-Difference Methods of Solving the Ill-Posed Cauchy Problem for Second-Order Linear Differential Equations in a Banach Space,” Vychisl. Metody Programm. 11, 25-31 (2010).
  9. A. B. Bakushinskii, M. M. Kokurin, and M. Yu. Kokurin, “On a Complete Discretization Scheme for an Ill-Posed Cauchy Problem in a Banach Space,” Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN 18 (1), 96-108 (2012) [Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.) 280, suppl. 1, 53-65 (2013)].
  10. M. M. Kokurin, “Necessary and Sufficient Conditions for the Polynomial Convergence of the Quasi-Reversibility and Finite-Difference Methods for an Ill-Posed Cauchy Problem with Exact Data,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 55 (12), 2027-2041 (2015) [Comput. Math. Math. Phys. 55 (12), 1986-2000 (2015)].
  11. M. M. Kokurin, “Polynomial Estimates for the Convergence Rate of Difference Schemes for Ill-Posed Cauchy Problems,” in Proc. Int. Workshop on Inverse and Ill-Posed Problems, Moscow, Russia, November 19-21, 2015 (Ross. Univ. Druzhby Narodov, Moscow, 2015), pp. 97-98.
  12. M. M. Kokurin, “Error Estimates of Difference Schemes for Solving Second-Order Ill-Posed Cauchy Problems,” in Proc. Int. Conf. on Contemporary Problems of Mathematical Physics and Computational Mathematics, Moscow, Russia, October 31-November 3, 2016 (MAKS Press, Moscow, 2016), p. 160.
  13. D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral Theory and Differential Operators (Clarendon, Oxford, 1987.
  14. S. Mizohata, Theory of Partial Differential Equations (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973; Mir, Moscow, 1977).
  15. S. Agmon, “On the Eigenfunctions and on the Eigenvalues of General Elliptic Boundary Value Problems,” Comm. Pure Appl. Math. 15 (2), 119-147 (1962).
  16. H. B. Stewart, “Generation of Analytic Semigroups by Strongly Elliptic Operators,” Trans. Amer. Math. Soc. 199, 141-162 (1974).
  17. V. A. Kozlov, V. G. Maz’ya, and A. V. Fomin, “An Iterative Method for Solving the Cauchy Problem for Elliptic Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 31 (1), 64-74 (1991) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 31 (1), 45-52 (1991)].
  18. J. Baumeister and A. Leitão, “On Iterative Methods for Solving Ill-Posed Problems Modeled by Partial Differential Equations,” J. Inv. Ill-Posed Problems 9 (1), 13-29 (2001).
  19. R. Lattès and J.-L. Lions, Methode de Quasi-Reversibilite et Applications (Dunod, Paris, 1967; Mir, Moscow, 1970).
  20. S. I. Piskarev, “Estimates for the Rate of Convergence in Semidiscretization of Evolution Equations,” Differ. Uravn. 19 (12), 2153-2159 (1983).
  21. S. I. Piskarev, “Solution of Second-Order Evolution Equations under Krein-Fattorini Conditions,” Differ. Uravn. 21 (9), 1604-1612 (1985).
  22. S. I. Piskarev, “Estimates of the Rate of Convergence in Solving Ill-Posed Problems for Evolution Equations,” Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 51 (3), 676-687 [Math. USSR-Izv. 30 (3), 639-651 (1988)].
  23. S. I. Piskarev, Differential Equations in Banach Space and Their Approximation (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 2005) [in Russian].
  24. V. V. Vasil’ev, S. I. Piskarev, and N. Yu. Selivanova, “Integrated Semigroups and C-Semigroups and Their Applications,” (VINITI, Moscow, 2017), Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., Vol. 131, pp. 3-109.
  25. A. Benrabah, N. Boussetila, and F. Rebbani, “Regularization Method for an Ill-Posed Cauchy Problem for Elliptic Equations,” J. Inv. Ill-Posed Problems 25 (3), 311-329 (2017).
  26. E. Gekeler, Discretization Methods for Stable Initial Value Problems (Springer, Berlin, 1984).
  27. N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods (Binom, Moscow, 2007) [in Russian].
  28. N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators. General Theory (Interscience, New York, 1958; Editorial, Moscow, 2004).
  29. M. Haase, The Functional Calculus for Sectorial Operators (Birkh854user, Basel, 2006).
  30. H. Triebel, Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators (North-Holland, Amsterdam, 1978; Mir, Moscow, 1980).
  31. V. A. Trenogin, Functional Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
  32. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Springer, Berlin, 1966; Mir, Moscow, 1972).

Загрузки

Опубликован

2017-08-21

Как цитировать

Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости и погрешности разностных схем решения линейной некорректной задачи Коши второго порядка // Вычислительные методы и программирование. 2017. 18. 322-347. doi 10.26089/NumMet.v18r428

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения