DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v18r107

О комбинировании способов ускорения сходимости итерационных процессов при численном решении уравнений Навье-Стокса

Авторы

  • Е.В. Ворожцов
  • В.П. Шапеев

Ключевые слова:

предобуславливание
подпространства Крылова
многосеточные алгоритмы
итерации Гаусса–Зейделя
уравнения Навье–Стокса
метод коллокаций и наименьших невязок

Аннотация

Рассматривается проблема ускорения итерационного процесса численного решения методом коллокаций и наименьших невязок (КНН) краевых задач для уравнений с частными производными. Для ее решения в методе КНН предложено применять одновременно три способа ускорения итерационного процесса: предобуславливатель, многосеточный алгоритм и метод Крылова. Исследован двухпараметрический предобуславливатель. Предложено находить оптимальные значения его параметров путем численного решения относительно нетрудоемкой задачи минимизации числа обусловленности системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи. Использование найденного предобуславливателя существенно ускоряет итерационный процесс. Исследовано влияние на итерационный процесс всех трех способов его ускорения: каждого по отдельности, а также при их комбинированном применении. При этом наибольший вклад дает применение алгоритма, использующего подпространства Крылова. Комбинированное применение одновременно всех трех способов ускорения итерационного процесса решения краевых задач для двумерных уравнений Навье-Стокса уменьшило время их решения на компьютере до 160 раз по сравнению со случаем, когда ни один из них не применялся. Предложенная комбинация способов ускорения итерационных процессов может быть реализована также в рамках применения других численных методов решения уравнений с частными производными.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2017-03-06

Выпуск

Том 18 (2017): Выпуск 1.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

Е.В. Ворожцов

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• ведущий научный сотрудник

В.П. Шапеев

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН)
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• главный научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. W. S. Edwards, L. S. Tuckerman, R. A. Friesner, and D. C. Sorensen, “Krylov Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations,” J. Comput. Phys. 110 (1), 82-102 (1994).
  2. D. A. Knoll and D. E. Keyes, “Jacobian-Free Newton-Krylov Methods: A Survey of Approaches and Applications,” J. Comput. Phys. 193 (2), 357-397 (2004).
  3. B. E. Griffith, “An Accurate and Efficient Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations Using the Projection Method as a Preconditioner,” J. Comput. Phys. 228 (20), 7565-7595 (2009).
  4. Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (Manchester Univ. Press, Manchester, 1991).
  5. A. N. Krylov, “On the Numerical Solution of the Equation by Which the Frequency of Small Oscillations is Determined in Technical Problems,” Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Fiz.-Mat., No 4, 491-539 (1931).
  6. A. G. Sleptsov, “On Convergence Acceleration of Linear Iterations, II,” Modelir. Mekhan. 3 (5), 118-125 (1989).
  7. R. P. Fedorenko, “The Speed of Convergence of One Iterative Process,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 4 (3), 559-564 (1964) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 4 (3), 227-235 (1964)].
  8. J. Piquet and X. Vasseur, “A Nonstandard Multigrid Method with Flexible Multiple Semicoarsening for the Numerical Solution of the Pressure Equation in a Navier-Stokes Solver,” Numer. Algorithms 24 (4), 333-355 (2000).
  9. G. Jothiprasad, D. J. Mavriplis, and D. A. Caughey, “Higher-Order Time Integration Schemes for the Unsteady Navier-Stokes Equations on Unstructured Meshes,” J. Comput. Phys. 191 (2), 542-566 (2003).
  10. L. Ge and F. Sotiropoulos, “A Numerical Method for Solving the 3D Unsteady Incompressible Navier-Stokes Equations in Curvilinear Domains with Complex Immersed Boundaries,” J. Comput. Phys. 225 (2), 1782-1809 (2007).
  11. P. Lucas, A. H. van Zuijlen, and H. Bijl, “Fast Unsteady Flow Computations with a Jacobian-Free Newton-Krylov Algorithm,” J. Comput. Phys. 229 (24), 9201-9215 (2010).
  12. M. M. Nasr-Azadani and E. Meiburg, “TURBINS: An Immersed Boundary, Navier-Stokes Code for the Simulation of Gravity and Turbidity Currents Interacting with Complex Topographies,” Comput. Fluids 45 (1), 14-28 (2011).
  13. M. Wang and L. Chen, “Multigrid Methods for the Stokes Equations using Distributive Gauss-Seidel Relaxations Based on the Least Squares Commutator,” J. Sci. Comput. 56 (2), 409-431 (2013).
  14. M. Nickaeen, A. Ouazzi, and S. Turek, “Newton Multigrid Least-Squares FEM for the V-V-P Formulation of the Navier-Stokes Equations,” J. Comput. Phys. 256, 416-427 (2014).
  15. F. A. Fairag and A. J. Wathen, “A Block Preconditioning Technique for the Streamfunction-Vorticity Formulation of the Navier-Stokes Equations,” Numer. Methods Partial Differ. Equ. 28 (3), 888-898 (2012).
  16. M. Benzi and Z. Wang, “Analysis of Augmented Lagrangian-Based Preconditioners for the Steady Incompressible Navier-Stokes Equations,” SIAM J. Sci. Comput. 33 (5), 2761-2784 (2011).
  17. B. N. Jiang, T. L. Lin, and L. A. Povinelli, “Large-Scale Computation of Incompressible Viscous Flow by Least-Squares Finite Element Method,” Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 114 (3-4), 213-231 (1994).
  18. M. Ramšak and L. Škerget, “A Subdomain Boundary Element Method for High-Reynolds Laminar Flow using Stream Function-Vorticity Formulation,” Int. J. Numer. Meth. Fluids 46 (8), 815-847 (2004).
  19. A. V. Plyasunova and A. G. Sleptsov, “Collocation Grid Method for Solving Nonlinear Parabolic Equations on Moving Grids,” Model. Mekh. 18 (4), 116-137 (1987).
  20. G. F. Carey and B. N. Jiang, “Least-Squares Finite Element Method and Preconditioned Conjugate Gradient Solution,” Int. J. Numer. Methods Eng. 24 (7), 1283-1296 (1987).
  21. B. N. Jiang, The Least-Squares Finite Element Method: Theory and Applications in Computational Fluid Dynamics and Electromagnetics (Springer, Berlin, 1998).
  22. P. B. Bochev and M. D. Gunzburger, “Finite Element Methods of Least-Squares Type,” SIAM Rev. 40 (4), 789-837 (1998).
  23. B. F. Soares, R. V. Garcia, P. C. Pinto, and E. C. Romao, “Interval Study of Convergence in the Solution of 1D Burgers by Least Squares Finite Element Method (LSFEM) + Newton Linearization,” Sci. Res. Essays 10 (16), 522-530 (2015).
  24. L. G. Semin, A. G. Sleptsov, and V. P. Shapeev, “Collocation and Least Squares Method for Stokes Equations,” Vychisl. Tekhnol. 1 (2), 90-98 (1996).
  25. L. Semin and V. Shapeev, “Constructing the Numerical Method for Navier-Stokes Equations Using Computer Algebra System,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Heidelberg, 2005), Vol. 3718, pp. 367-378.
  26. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “Development of the Collocations and Least Squares Method,” Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN 14 (1), 41-60 (2008) [Proc. Steklov Inst. Math. 261 (Suppl. 1), S87-S106 (2008)].
  27. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and A. N. Cherepanov, “Numerical Simulation of Laser Welding of Thin Metallic Plates Taking into Account Convection in the Welding Pool,” Teplofiz. Aeromekh. 17 (3), 451-466 (2010) [Thermophys. Aeromech. 17 (3), 419-434 (2010)].
  28. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Order Accurate Collocations and Least Squares Method for Solving the Navier-Stokes Equations,” Dokl. Akad. Nauk 442 (4), 442-445 (2012) [Dokl. Math. 85 (1), 71-74 (2012)].
  29. A. G. Sleptsov and Yu. I. Shokin, “An Adaptive Grid-Projection Method for Elliptic Problems,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 37 (5), 572-586 (1997) [Comput. Math. Math. Phys. 37 (5), 558-571 (1997)].
  30. V. V. Beljaev and V. P. Shapeev, “The Collocation and Least Squares Method on Adaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000).
  31. V. P. Shapeev, V. I. Isaev, and S. V. Idimeshev, “The Collocations and Least Squares Method: Application to Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” in Proc. 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012), Vienna, Austria, Vienna, September 10-14, 2012 (Vienna Univ. of Tech., Vienna, 2012), p. 359.
  32. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “Symbolic-Numeric Implementation of the Method of Collocations and Least Squares for 3D Navier-Stokes Equations,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Heidelberg, 2012), Vol. 7442, pp. 321-333.
  33. V. P. Shapeev, E. V. Vorozhtsov, V. I. Isaev, and S. V. Idimeshev, “The Method of Collocations and Least Residuals for Three-Dimensional Navier-Stokes Equations,” Vychisl. Metody Programm. 14, 306-322 (2013).
  34. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of 3D Navier-Stokes Equations,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Heidelberg, 2013), Vol. 8136, pp. 381-392.
  35. V. Shapeev, “Collocation and Least Residuals Method and Its Applications,” EPJ Web of Conferences 108 (2016).
    doi 10.1051/epjconf/201610801009
  36. V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010)].
  37. A. V. Shapeev and P. Lin, “An Asymptotic Fitting Finite Element Method with Exponential Mesh Refinement for Accurate Computation of Corner Eddies in Viscous Flows,” SIAM J. Sci. Comput. 31 (3), 1874-1900 (2009).
  38. O. Botella and R. Peyret, “Benchmark Spectral Results on the Lid-Driven Cavity Flow,” Comput. Fluids 27 (4), 421-433 (1998).
  39. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory,” Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31-43 (2013).
  40. S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Development and Application of Collocations and Least Residuals Method to the Solution of Problems in Mechanics of Anisotropic Laminated Plates,” Vychisl. Tekhnol. 19 (5), 24-36 (2014).
  41. V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Versions of High Order Accuracy Collocation and Least Residuals Method in the Domain with a Curvilinear Boundary,” Vychisl. Tekhnol. 21 (5), 95-110 (2016).
  42. D. Kharenko, C. Padovani, A. Pagni, et al., “Free Longitudinal Vibrations of Bimodular Beams: A Comparative Study,” Int. J. Str. Stab. Dyn. 11 (1), 23-56 (2011).
  43. V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, “CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of the Burgers and Korteweg-de Vries-Burgers Equations,” in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Heidelberg, 2014), Vol. 8660, pp. 432-446.
  44. V. I. Isaev, A. N. Cherepanov, and V. P. Shapeev, “Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert,” Int. J. Heat Mass Transfer 99, 711-720 (2016).
  45. E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “Acceleration of Iterative Processes for Solving Boundary Value Problems by Combining the Krylov and Fedorenko Methods,” Simvol Nauki 10 (2), 24-43 (2015).
  46. V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, “An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations,” Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007).
  47. I. B. Petrov and A. I. Lobanov, Lectures on Computational Mathematics (Binom, Moscow, 2006) [in Russian].
  48. P. H. Chiu, T. W. H. Sheu, and R. K. Lin, “An Effective Explicit Pressure Gradient Scheme Implemented in the Two-Level Non-Staggered Grids for Incompressible Navier-Stokes Equations,” J. Comput. Phys. 227 (8), 4018-4037 (2008).
  49. S. Wolfram, The Mathematica Book (Wolfram Media, Champaign, 2003).
  50. Numerical Analysis Library of Moscow University Research Computing Center, Computing All Eigenvalues of a Symmetric Matrix by the QL Algorithm with Shifts.
    http://num-anal.srcc.msu.ru/lib.na/cat/ae/aeh2r.htm . Cited February 15, 2017.
  51. P. Wesseling, An Introduction to Multigrid Methods (Wiley, Chichester, 1992).
  52. T. W. Tee and I. Sobey, Spectral Method for the Unsteady Incompressible Navier-Stokes Equations in Gauge Formulation , Report NA04/09 (Numerical Analysis Group, Oxford, 2004),
    http://eprints.maths.ox.ac.uk/1181/. Cited February 15, 2017.
  53. S. Albensoeder and H. C. Kuhlmann, “Accurate Three-Dimensional Lid-Driven Cavity Flow,” J. Comput. Phys. 206 (2), 536-558 (2005).
  54. E. Erturk, T. C. Corke, and C. Gökçöl, “Numerical Solutions of 2-D Steady Incompressible Driven Cavity Flow at High Reynolds Numbers,” Int. J. Numer. Methods Fluids 48 (7), 747-774 (2005).
  55. E. Erturk, “Discussions on Driven Cavity Flow,” Int. J. Numer. Methods Fluids 60 (3), 275-294 (2009).
  56. R. Lim and D. Sheen, “Nonconforming Finite Element Method Applied to the Driven Cavity Flow,” arXiv preprint: 1502.04217v3 [math.NA] (Cornell Univ. Library, Ithaca, 2016),
    available at
    https://arxiv.org/abs/1502.04217

Лицензия

Copyright (c) 2017 Вычислительные методы и программирование

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.