DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v17r446

Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана-Дирихле с контролем погрешности

Авторы

  • Б.В. Семисалов

Ключевые слова:

краевая задача
быстрый алгоритм
оценка погрешности
метод коллокаций
метод установления
нелокальный алгоритм без насыщения

Аннотация

Предложен метод численного решения краевых задач Неймана-Дирихле для уравнений эллиптического типа, обеспечивающий достижение требуемой точности с низким расходом памяти и машинного времени. Метод адаптирует свойства наилучших полиномиальных приближений для построения быстросходящихся алгоритмов без насыщения на основе нелокальных чебышевских приближений. Предложен новый подход к аппроксимации дифференциальных операторов и решению полученных задач линейной алгебры. Даны оценки погрешности численного решения. Обоснован и установлен экспериментально высокий порядок сходимости предложенного метода в задачах с Cr-гладкими и C∞-гладкими решениями. Получены выражения элементов массивов, аппроксимирующих операторы производных в задачах с различными граничными условиями. Эти выражения позволят читателю быстро реализовать метод «с нуля».

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2016-11-26

Выпуск

Том 17 (2016): Выпуск 4.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Автор

Б.В. Семисалов

Новосибирский государственный университет,
механико-математический факультет
ул. Пирогова, 1, 630090, Новосибирск
• ассистент

Библиографические ссылки

  1. A. M. Blokhin and R. D. Alaev, Energy Integrals and Their Applications in the Stability Analysis of Difference Schemes (Novosibirsk, Novosibirsk Univ., 1993) [in Russian].
  2. K. I. Babenko, Fundamentals of Numerical Analysis (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
  3. K. I. Babenko, “On the Saturation Phenomenon in Numerical Analysis,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 241 (3), 505-508 (1978) [Sov. Math. Dokl. 19, 859-863 (1978)].
  4. B. V. Semisalov, “Non-Local Algorithm of Finding Solution to the Poisson Equation and Its Applications,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 54 (7), 1110-1135 (2014).
  5. S. D. Algazin, Numerical Algorithms without Saturation in the Classical Problems of Mathematical Physics (Nauchnyi Mir, Moscow, 2002) [in Russian].
  6. V. N. Belykh, “Superconvergent Unsaturated Algorithms for the Numerical Solution of the Laplace Equation,” Sib. Zh. Ind. Mat. 5 (2), 36-52 (2002).
  7. V. N. Belykh, “On the Best Approximation Properties of 𝒞∞-Smooth Functions on an Interval of the Real Axis (to the Phenomenon of Unsaturated Numerical Methods),” Sib. Mat. Zh. 46 (3), 483-499 (2005) [Sib. Math. J. 46 (3), 373-385 (2005)].
  8. V. N. Belykh, “Particular Features of Implementation of an Unsaturated Numerical Method for the Exterior Axisymmetric Neumann Problem,” Sib. Mat. Zh. 54 (6), 1237-1249 (2013) [Sib. Math. J. 54 (6), 984-993 (2013)].
  9. D. Jackson, “On Approximation by Trigonometric Sums and Polynomials,” Trans. Amer. Math. Soc. 13, 491-515 (1912).
  10. S. N. Bernstein, “On the Best Approximation of Continuous Functions by Polynomials of a Given Degree,” Soobshch. Khar’kov Mat. Obshch. 13, 49-144 (1912).
  11. V. K. Dzyadyk, Introduction to the Theory of Uniform Approximation by Polynomials (Nauka, Moscow, 1977) [in Russian].
  12. N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods (Binom, Moscow, 2008) [in Russian].
  13. M. A. Lavrent’ev and B. V. Shabat, Methods of Theory of Functions of Complex Variable (Nauka, Moscow, 1973) [in Russian].
  14. H. Lebesgue, “Sur l’Approximation des Fonctions,” Bull. Sci. Math. Ser. 2 22, 278-287 (1898).
  15. V. K. Dzjadyk and V. V. Ivanov, “On Asymptotics and Estimates for the Uniform Norms of the Lagrange Interpolation Polynomials Corresponding to the Chebyshev Nodal Points,” Anal. Math. 9 (2), 85-97 (1983).
  16. S. K. Godunov and G. P. Prokopov, “On the Computation of Conformal Transformations and the Construction of Difference Meshes,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 7 (5), 1031-1059 (1967) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 7 (5), 89-124 (1967)].
  17. V. D. Liseikin, Yu. I. Shokin, I. A. Vaseva, and Yu. V. Likhanova, Grid Generation Technology (Nauka, Novosibirsk, 2009) [in Russian].
  18. A. M. Blokhin, A. S. Ibragimova, and B. V. Semisalov, “Designing of Computational Algorithm for System of Moment Equations which Describe Charge Transport in Semiconductors,” Mat. Mod. 21 (4), 15-34 (2009).
  19. V. A. Trenogin, Functional Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
  20. A. A. Belov and N. N. Kalitkin, “Evolutionary Factorization and Superfast Relaxation Count,” Mat. Model. 26 (9), 47-64 (2014) [Math. Models Comput. Simul. 7 (2), 103-116 (2015)].
  21. A. N. Konovalov, Introduction to Computational Methods of Linear Algebra (Nauka, Novosibirsk, 1993) [in Russian].
  22. J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra (SIAM, Philadelphia, 1997; Mir, Moscow, 2001).
  23. R. D. Russell and L. F. Shampine, “A Collocation Method for Boundary Value Problems,” Numer. Math. 19, 1-28 (1972).