DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v17r212

Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва

Авторы

  • О.Б. Арушанян
  • С.Ф. Залеткин

Ключевые слова:

обыкновенные дифференциальные уравнения
задача Коши
приближенные аналитические методы
численные методы
ортогональные разложения
смещенные ряды Чебышёва
квадратурные формулы Маркова

Аннотация

Рассмотрен численно-аналитический метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от искомых функций. Метод основан на приближенном представлении решения и его производной в виде частичных сумм смещенных рядов Чебышёва. Коэффициенты рядов определяются с помощью итераций с применением квадратурной формулы Маркова. Метод может быть использован для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с более высокой точностью и с более крупным шагом дискретизации по сравнению с традиционными численными методами типа Рунге-Кутта и Адамса.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2016-04-01

Выпуск

Том 17 (2016): Выпуск 2.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

О.Б. Арушанян

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 119991, Москва
• заведующий лабораторией

С.Ф. Залеткин

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 119991, Москва
• старший научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. K. I. Babenko, Fundamentals of Numerical Analysis (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
  2. I. P. Mysovskikh, Lectures on Numerical Methods (St. Petersburg Univ., St. Petersburg, 1998) [in Russian].
  3. V. P. II’in and Yu. I. Kuznetsov, Algebraic Foundations of Numerical Analysis (Nauka, Novosibirsk, 1986) [in Russian].
  4. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “Application of Markov’s Quadrature in Orthogonal Expansions,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 6, 18-22 (2009) [Moscow Univ. Math. Bull. 64 (6), 244-248 (2009)].
  5. S. F. Zaletkin, “Markov’s Formula with Two Fixed Nodes for Numerical Integration and Its Application in Orthogonal Expansions,” Vychisl. Metody Programm. 6, 1-17 (2005).
  6. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “On Some Properties of Partial Sums for Chebyshev Series,” Differen. Uravn. Protsessy Upravl. 13 (3), 26-34 (2009).
  7. P. K. Suetin, Classical Orthogonal Polynomials (Nauka, Moscow, 1979) [in Russian].
  8. S. F. Zaletkin, “Numerical Integration of Ordinary Differential Equations Using Orthogonal Expansions,” Mat. Model. 22 (1), 69-85 (2010).
  9. I. S. Berezin and N. P. Zhidkov, Computing Methods (Fizmatgiz, Moscow, 1962; Pergamon, Oxford, 1965).
  10. N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods (Binom, Moscow, 2007) [in Russian].
  11. C. W. Gear, Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations (Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1971).
  12. E. Hairer, S. P. Nörsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations. I. Nonstiff Problems (Springer, Berlin, 1987; Mir, Moscow, 1990).
  13. R. England, “Error Estimates for Runge-Kutta Type Solutions to Systems of Ordinary Differential Equations,” Comput. J. 12 (2), 166-170 (1969).
  14. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Approximate Integration of Ordinary Differential Equations on the Basis of Orthogonal Expansions,” Differen. Uravn. Protsessy Upravl. 14 (4), 59-68 (2009).
  15. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Application of Orthogonal Expansions for Approximate Integration of Ordinary Differential Equations,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 4, 40-43 (2010) [Moscow Univ. Math. Bull. 65 (4), 172-175 (2010)].
  16. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Approximate Solution of Ordinary Differential Equations Using Chebyshev Series,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 7, 122-131 (2010).
  17. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “On Calculation of Chebyshev Series Coefficients for the Solutions to Ordinary Differential Equations,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 8, 273-283 (2011).
  18. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Calculation of the Coefficients of Orthogonal Expansions for the Solutions to Ordinary Differential Equations,” Differen. Uravn. Protsessy Upravl. 15 (2), 41-47 (2011).
  19. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Calculation of Expansion Coefficients of Series in Chebyshev Polynomials for a Solution to a Cauchy Problem,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 5, 24-30 (2012) [Moscow Univ. Math. Bull. 67 (5-6), 211-216 (2012)].
  20. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “An Approximate Method for Integration of Ordinary Differential Equations,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 6, 43-46 (2013) [Moscow Univ. Math. Bull. 68 (6), 292-294 (2013)].
  21. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “A Method of Solving the Cauchy Problem for Ordinary Differential Equations Using Chebyshev Series,” Vychisl. Metody Programm. 14, 203-214 (2013).
  22. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “On an Approach to Integration of Ordinary Differential Equations with the Use of Series,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 6, 57-60 (2014) [Moscow Univ. Math. Bull. 69 (6), 272-274 (2014)].
  23. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Application of Chebyshev Series for the Integration of Ordinary Differential Equations,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 11, 517-531 (2014).
  24. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “On an Approximate Analytical Method of Solving Ordinary Differential Equations,” Vychisl. Metody Programm. 16, 235-241 (2015).
  25. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Application of Chebyshev Series to Integration of Ordinary Differential Equations with Rapidly Growing Solutions,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 5, 57-60 (2015) [Moscow Univ. Math. Bull. 70 (5), 237-240 (2015)].
  26. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations UsingFORTRAN (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1990) [in Russian].