Организация параллельных вычислений для решения уравнения Гельмгольца прямым методом с использованием малоранговой аппроксимации и HSS-формата
DOI:
https://doi.org/10.26089/NumMet.v16r457Ключевые слова:
уравнение Гельмгольца, алгоритмы решения разреженных линейных систем, прямой метод Гаусса, аппроксимация матрицами малого ранга, HSS-формат матриц, распределенные параллельные системы, гетерогенные высокопроизводительные вычислительные системыАннотация
Предложен алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), основанный на методе исключении Гаусса и предназначенный для решения уравнения Гельмгольца в трехмерных неоднородных средах. Для решения СЛАУ, возникающих в геофизических приложениях, разработана параллельная версия алгоритма, направленная на использование гетерогенных высокопроизводительных вычислительных систем, содержащих узлы с MPP- и SMP-архитектурой. Малоранговая аппроксимация, HSS-формат и динамическое распределение промежуточных результатов среди кластерных узлов позволяют решать задачи в разы большие, чем при использовании традиционных прямых методов, сохраняющих блоки L-фактора в полном ранге (Full-Rank, FR). Использование предложенного алгоритма позволяет сократить время расчетов, что актуально для решения трехмерных задач геофизики. Численные эксперименты подтверждают упомянутые преимущества предложенного малорангового прямого метода (Low-Rank, LR) по сравнению с прямыми FR-методами. На модельных геофизических задачах показана «жизнеспособность» реализованного алгоритма.
Библиографические ссылки
- S. A. Solovyev, “Application of the Low-Rank Approximation Technique in the Gauss Elimination Method for Sparse Linear Systems,” Vychisl. Metody Programm. 15, 441–460 (2014).
- A. George, “Nested Dissection of a Regular Finite ElementMesh,” SIAM J. Numer. Anal. 10 (2), 345–363 (1973).
- S. Solovyev, D. Vishnevsky, and H. Liu, “Multifrontal Hierarchically Semi-Separable Solver for 3D Helmholtz Problem Using 27-Point Finite-Difference Scheme,” in Proc. 77th EAGE Conference and Exhibition, Madrid, Spain, June 1–4, 2015,
doi 10.3997/2214-4609.201413101 - S. Chandrasekaran, P. Dewilde, M. Gu, and N. Somasunderam, “On the Numerical Rank of the Off-Diagonal Blocks of Schur Complements of Discretized Elliptic PDEs,” SIAM J. Matrix Anal. Appl. 31 (5), 2261–2290 (2010).
- F. Collino and C. Tsogka, “Application of the Perfectly Matched Absorbing Layer Model to the Linear Elastodynamic Problem in Anisotropic Heterogeneous Media,” Geophysics 66 (1), 294–307 (2001).
- J. Xia, “Robust and Efficient Multifrontal Solver for Large Discretized PDEs,” in High-Performance Scientific Computing (London, Springer, 2012), pp. 199–217.
- S. A. Solovyev and S. Tordeux, “An Efficient Truncated SVD ofLarge Matrices Based on the Low-Rank Approximation for Inverse Geophysical Problems,” Siberian Electronic Math. Rep. 12, 592–609 (2015).
- B. Glinsky, I. Chernykh, N. Kuchin, et al., “Control and Managing the HPC Cluster in Siberian Supercomputer Center,” in Proc. Int. Conf. Russian Supercomputing Days, Moscow, Russia, September 28–29, 2015 (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 2015), pp. 667–675.
