О численном решении краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца методом гиперсингулярных интегральных уравнений

Авторы

  • С.Г. Даева АО «Концерн Вега»
  • А.В. Сетуха Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v16r340

Ключевые слова:

граничные интегральные уравнения, гиперсингулярные интегралы, метод дискретных особенностей, уравнение Гельмгольца, дифракция акустической волны

Аннотация

Предложена численная схема решения граничного гиперсингулярного интегрального уравнения, возникающего в краевой задаче Неймана для уравнения Гельмгольца. Схема основана на выделении в явном виде главной особенности в ядре. При дискретизации граничного интегрального уравнения возникает система линейных уравнений, коэффициенты которой представляются в виде суммы сильно сингулярных и слабо сингулярных интегралов. Указанные сильно сингулярные интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару и вычисляются аналитически в случае, когда поверхность аппроксимируется ячейками таким образом, что края всех ячеек имеют вид пространственных многоугольников (не обязательно плоских). Для слабосингулярных интегралов предложены квадратурные формулы типа прямоугольников со сглаживанием особенности. Построенная численная схема протестирована на следующих модельных примерах: при решении гиперсингулярного уравнения на сфере (осуществлялось сравнение численных решений с аналитическими решениями интегрального уравнения, получаемыми из спектральных соотношений); при решении задач дифракции акустической волны на жестких сфере и диске (осуществлялось сравнение характеристик акустического поля в дальней зоне, полученных на основе численного решения задачи, с известными теоретическими и численными данными).

Авторы

С.Г. Даева

АО «Концерн Вега»
Кутузовский проспект, 34, 121170, Москва
• научный сотрудник

А.В. Сетуха

Библиографические ссылки

  1. P. Ya. Ufimtsev, Theory of Edge Diffraction in Electromagnetics (Tech. Science Press, Encino, 2003; Binom, Moscow, 2012).
  2. G. P. Zouros and J. A. Roumeliotis, “Scattering by an Infinite Dielectric Cylinder Having an Elliptic Metal Core: Asymptotic Solutions,” IEEE Trans. Antennas Propag. 58 (10), 3299-3309 (2010).
  3. J. G. Meana, J. A. Martinez-Lorenzo, F. Las-Heras, and C. Rappaport, “Wave Scattering by Dielectric and Lossy Materials Using the Modified Equivalent Current Approximation (MECA),” IEEE Trans. Antennas Propag. 58 (11), 3757-3761 (2010).
  4. Z. Peng, X.-C. Wang, and J.-F. Lee, “Integral Equation Based Domain Decomposition Method for Solving Electromagnetic Wave Scattering from Non-Penetrable Objects,” IEEE Trans. Antennas Propag. 59 (9), 3328-3338 (2011).
  5. A. L. Bonomo, M. J. Isakson, and N. P. Chotiros, “A Comparison of Finite Element and Analytic Models of Acoustic Scattering from Rough Poroelastic Interfaces,” J. Acoust. Soc. Am. 137 (4), EL235-EL240 (2015).
  6. P. Rucz, F. Augusztinovicz, J. Angster, et al., “A Finite Element Model of the Tuning Slot of Labial Organ Pipes,” J. Acoust. Soc. Am. 137 (3), 1226-1237 (2015).
  7. D. A. Konyaev and A. L. Delitsyn, “Finite Element Method with Partial Radiation Conditions for Diffraction Problem on Domains of Complex Structure,” Mat. Model. 28 (8), 48-64 (2014).
  8. D. Colton and R. Kress, Integral Equation Methods in Scattering Theory (Wiley, New York, 1983; Mir, Moscow, 1987).
  9. S. M. Rao, D. Wilton, and A. W. Glisson, “Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape,” IEEE Trans. Antennas Propag. 30 (3), 409-418 (1982).
  10. Yu. G. Smirnov, Mathematical Methods for Electrodynamic Problems (Penza State Univ., Penza, 2009) [in Russian].
  11. A. I. Mackenzie, S. M. Rao, and M. E. Baginski, “Method of Moments Solution of Electromagnetic Scattering Problems Involving Arbitrarily-Shaped Conducting/Dielectric Bodies Using Triangular Patches and Pulse Basis Functions,” IEEE Trans. Antennas Propag. 58 (2), 488-493 (2010).
  12. M. S. Tong and W. C. Chew, “Fast Convergence of Fast Multipole Acceleration Using Dual Basis Function in the Method of Moments for Composite Structures,” IEEE Trans. Antennas Propag. 59 (7), 2741-2746 (2011).
  13. A. G. Polimeridis, J. M. Tamayo, J. M. Rius, and J. R. Mosig, “Fast and Accurate Computation of Hypersingular Integrals in Galerkin Surface Integral Equation Formulations via the Direct Evaluation Method,” IEEE Trans. Antennas Propag. 59 (6), 2329-2340 (2011).
  14. D. L. Dault, N. V. Nair, J. Li, and B. Shanker, “The Generalized Method of Moments for Electromagnetic Boundary Integral Equations,” IEEE Trans. Antennas Propag. 62 (6), 3174-3188 (2014).
  15. F. Valdes, F. P. Andriulli, H. Bagci, and E. Michielssen, “Time-Domain Single-Source Integral Equations for Analyzing Scattering from Homogeneous Penetrable Objects,” IEEE Trans. Antennas Propag. 61 (3), 1239-1254 (2013).
  16. Z. Y. Yan, K. C. Hung, and H. Zheng, “Solving the Hypersingular Boundary Integral Equation in Three-Dimensional Acoustics Using a Regularization Relationship,” J. Acoust. Soc. Am. 113 (5), 2674-2683 (2003).
  17. W. S. Hwang, “Hypersingular Boundary Integral Equations for Exterior Acoustic Problems,” J. Acoust. Soc. Am. 101 (6), 3336-3342 (1997).
  18. T. W. Wu and G. C. Wan, “Numerical Modeling of Acoustic Radiation and Scattering from Thin Bodies Using a Cauchy Principal Integral Equation,” J. Acoust. Soc. Am. 92 (5), 2900-2906 (1992).
  19. Y.-F. Jing, T.-Z. Huang, Y. Duan, et al., “A Novel Integration Method for Weak Singularity Arising in Two-Dimensional Scattering Problems,” IEEE Trans. Antennas Propag. 58 (8), 2725-2731 (2010).
  20. I. Tsukerman, “A Singularity-Free Boundary Equation Method for Wave Scattering,” IEEE Trans. Antennas Propag. 59 (2), 555-562 (2011).
  21. I. K. Lifanov, Singular Integral Equations and Discrete Vortices (Yanus, Moscow, 1995; VSP, Utrecht, 1996).
  22. I. K. Lifanov and S. L. Stavtsev, “Integral Equations and Sound Propagation in a Shallow Sea,” Differ. Uravn. 40 (9), 1256-1270 (2004) [Differ. Equ. 40 (9), 1330-1344 (2004)].
  23. V. A. Gutnikov, V. Yu. Kiryakin, I. K. Lifanov, et al., “Numerical Solution to a Two-Dimensional Hypersingular Integral Equation and Sound Propagation in Urban Areas,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 47 (12), 2088-2100 (2007) [Comput. Math. Math. Phys. 47 (12), 2002-2013 (2007)].
  24. A. V. Setukha, “The Singular Integral Equation Method in 3-D Boundary Value Problems and Its Applications,” AIP Conf. Proc. 1479 (1), 720-723 (2012).
  25. S. G. Daeva and A. V. Setukha, “Numerical Simulation of Scattering of Acoustic Waves by Inelastic Bodies Using Hypersingular Boundary Integral Equation,” AIP Conf. Proc. 1648 (2015). doi: 10.1063/1.4912614
  26. S. G. Lebedeva and A. V. Setukha, “On the Numerical Solution of a Complete Two-Dimensional Hypersingular Integral Equation by the Method of Discrete Singularities,” Differ. Uravn. 49 (2), 223-233 (2013) [Differ. Equ. 49 (2), 224-234 (2013)].
  27. G. M. Vainikko, I. K. Lifanov, and L. N. Poltavskii, Hypersingular Integral Equations and Their Applications (Yanus, Moscow, 2001; CRC Press, Boca Raton, 2003).
  28. E. L. Shenderov, Radiation and Scattering of Sound (Sudostroenie, Leningrad, 1989) [in Russian].
  29. J. J. Faran, “Sound Scattering by Solid Cylinders and Spheres,” J. Acoust. Soc. Am. 23, 405-418 (1951).

Загрузки

Опубликован

2015-07-29

Как цитировать

Даева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца методом гиперсингулярных интегральных уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2015. 16. 421-435. doi 10.26089/NumMet.v16r340

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения