Обращение полных волновых полей нелинейным методом наименьших квадратов: SVD анализ

Авторы

  • К.Г. Гадыльшин
  • В.А. Чеверда

Ключевые слова:

уравнение Гельмгольца
макроскоростное строение среды
обращение полных волновых полей
сингулярное разложение
анализ разрешающей способности

Аннотация

Решение обратной динамической задачи сейсмики в формулировке нелинейного метода наименьших квадратов находится в центре внимания специалистов в области вычислительной геофизики начиная с середины 80-х годов прошлого века. Примерно с этого же времени известна и так называемая проблема реконструкции макроскоростной составляющей, заключающаяся в невозможности определения плавных вариаций скорости распространения сейсмических волн при отсутствии в спектре зарегистрированного сигнала очень низких временных частот или чрезвычайно больших расстояний между источниками и приемниками. В то же время, именно эта составляющая гарантирует корректное отображение в пространстве изучаемых геологических объектов. В последнее время, благодаря существенным успехам в области геофизического приборостроения, стала возможной регистрация значимой сейсмической информации на частотах вплоть до 5 Гц, однако и этого, как правило, оказывается недостаточно для реконструкции макроскоростного строения среды. В настоящей статье анализируются с математической точки зрения причины этой проблемы путем численного анализа сингулярного спектра производной Фреше оператора обратной задачи, переводящего текущее распределение скорости в наблюдаемые волновые поля. На этой основе предложена модификация целевого функционала, обладающая заметно более высокой чувствительностью к изменчивости макроскоростной модели, известная как формулировка MBTT (аббревиатура от английского Migration Based Travel Times).

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2014-08-20

Выпуск

Том 15 (2014): Выпуск 3.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

К.Г. Гадыльшин

Новосибирский государственный университет,
механико-математический факультет
ул. Пирогова, 1, 630090, Новосибирск
• аспирант

В.А. Чеверда

Институт нефтегазовой геологии и геофизики имени А.А. Трофимука СО РАН
проспект Академика Коптюга, 3, 630090, Новосибирск
• заведующий отделом

Библиографические ссылки

  1. Алексеев А.С., Костин В.И., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А. Восстановление двумерных возмущений скорости вертикально-неоднородной акустической среды по данным многократного перекрытия (линеаризованная постановка) // Геология и геофизика. 1997. 38, № 12. 1980-1992.
  2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.
  3. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992.
  4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.
  5. Вайнберг Б.Р. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными // Успехи математических наук. 1966. 21, № 3. 115-194.
  6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977.
  7. Костин В.И., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А. r-решения уравнений первого рода с компактным оператором в гильбертовых пространствах: существование и устойчивость // Доклады АН. 1997. 335, № 3. 308-312.
  8. Чеверда В.А., Костин В.И. r-псевдообратный для компактного оператора // Сибирские электронные математические известия. 2010. 7. 258-282.
  9. Протасов М.И., Чеверда В.А. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах // Доклады АН. 2006. 407, № 4. 528-532.
  10. Эйдус Д.М. О принципе предельного поглощения // Математический сборник. 1962. 57, № 1. 13-44.
  11. Bamberger A., Chavent G., Hemon Ch., Lailly P. Inversion of normal incidence seismograms // Geophysics. 1982. 47, N 5. 757-770.
  12. Bao G., Symes W.W. Regularity of an inverse problem in wave propagation // Lecture Notes in Physics. Vol. 486. Heidelberg: Springer, 1997. 226-235.
  13. Beylkin G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem by inversion of causal generalized Radon transform // J. Math. Phys. 1985. 26, N 1. 99-108.
  14. Brenders A.J., Pratt R.G. Full waveform tomography for lithospheric imaging: results from a blind test in a realistic crustal model // Geophys. J. Int. 2007. 168, N 1. 133-151.
  15. Cheverda V.A., Kostin V.I. R-pseudoinverses for compact operators in Hilbert spaces: existence and stability // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. 3, N 2. 131-148.
  16. Clément F., Chavent G., G’omez S. Migration-based traveltime waveform inversion of 2-D simple structures: A synthetic example // Geophysics. 2001. 66, N 3. 845-860.
  17. Jannane M., Beydoun W., Crase E., el al. Wavelengths of earth structures that can be resolved from seismic reflection data // Geophysics. 1989. 54, N 7. 906-910.
  18. Gauthier O., Virieux J., Tarantola A. Two-dimensional nonlinear inversion of seismic waveforms: Numerical results // Geophysics. 1986. 51, N 7. 1387-1403.
  19. Lailly P. The seismic inverse problem as a sequence of before stack migrations // Proc. of the Conference on Inverse Scattering: Theory and Applications. Philadelphia: SIAM, 1983. 206-220.
  20. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // Transactions on Mathematical Software. 1982. 8, N 1. 43-71.
  21. Protasov M.I., Tcheverda V.A. True amplitude imaging by inverse generalized Radon transform based on Gaussian beam decomposition of the acoustic Green’s function // Geophysical Prospecting. 2011. 59, N 2. 197-209.
  22. Silvestrov I., Neklyudov D., Kostov C., Tcheverda V. Full-waveform inversion for macro-velocity model reconstruction in look-ahead offset vertical seismic profile: numerical singular value decomposition-based analysis // Geophysical Propspecting. 2013. 61, N 6. 1099-1113.
  23. Tarantola A. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation // Geophysics. 1984. 49, N 8. 1259-1266.
  24. Virieux J., Operto S. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics // Geophysics. 2009. 74, N 6. WCC1-WCC26.
  25. Yilmaz Ö. Seismic data analysis. Processing, inversion and interpretation of seismic data. Vol. 2. Tulsa: Society of Exploration Geophysicists, 2001.