Новые апостериорные оценки погрешности приближенных решений нерегулярных операторных уравнений

Авторы

  • А.Б. Бакушинский
  • А.С. Леонов

Ключевые слова:

нерегулярные операторные уравнения
апостериорные оценки точности
итеративно регуляризированные процессы типа Гаусса-Ньютона

Аннотация

Дается краткий обзор полученных к настоящему времени апостериорных оценок погрешности приближенных решений нерегулярных операторных уравнений. К их числу относятся апостериорные оценки на некоторых дескриптивных расширяющихся компактах (А.Г. Ягола и др.), оценки с помощью апостериорных значений невязки и регуляризующего функционала (А.С. Леонов), оценки, учитывающие более детальные априорные предположения о решении уравнения (А.Б. Бакушинский и др.), оценки точности решений коэффициентных обратных задач для уравнений в частных производных, использующие специфику метода регуляризации А.Н. Тихонова и адаптивного метода конечных элементов (L. Beilina, M. Klibanov и др.). Предлагается новый способ получения апостериорных оценок точности приближенных решений, вычисляемых с помощью итерационных процедур для нерегулярных операторных уравнений. Оценки используют другие апостериорные функционалы от приближенных решений, чем в указанных работах. В этом способе можно отслеживать эволюцию апостериорных оценок в процессе решения уравнения, что позволяет делать выводы о сходимости итераций и вводить коррективы в сами итерационные процедуры в процессе их выполнения.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2014-06-09

Выпуск

Том 15 (2014): Выпуск 2.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

А.Б. Бакушинский

Институт системного анализа РАН (ИСА РАН)
проспект 60-летия Октября, 9, 117312, Москва
• главный научный сотрудник

А.С. Леонов

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Каширское ш., 31, 115409, Москва
• профессор

Библиографические ссылки

  1. Винокуров В.А., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки погрешности решения некорректных обратных задач // Доклады АН СССР. 1982. 263, № 2. 277-280.
  2. Дорофеев К.Ю., Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей решения для некорректных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. 43, № 1. 12-25.
  3. Dorofeev K.Yu., Yagola A.G. The method of extending compacts and a posteriori error estimates for nonlinear ill-posed problems // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. 12, N 6. 627-636.
  4. Yagola A., Titarenko V. Using a priori information about a solution of an ill-posed problem for constructing regularizing algorithms and their applications // Inv. Problems Sci. Eng. 2007. 15, N 1. 3-17.
  5. Леонов А.С. Об апостериорных оценках точности решения линейных некорректно поставленных задач и экстраоптимальных регуляризирующих алгоритмах // Вычислительные методы и программирование. 2010. 11. 14-24.
  6. Leonov A.S. Extraoptimal a posteriori estimates of the solution accuracy in the ill-posed problems of the continuation of potential geophysical fields // Izv. Phys. Solid Earth. 2011. 47, N 6. 531-540.
  7. Leonov A.S. A posteriori accuracy estimations of solutions to ill-posed inverse problems and extra-optimal regularizing algorithms for their solution // Numer. Analysis and Applications. 2012. 5, N 1. 68-83.
  8. Leonov A.S. Extra-optimal methods for solving ill-posed problems // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. 20, N 5-6. 637-665.
  9. Леонов А.С. Поточечно экстраоптимальные регуляризующие алгоритмы // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14. 215-228.
  10. Бакушинский А.Б. Апостериорные оценки погрешности приближенных решений нерегулярных операторных уравнений // Доклады АН. 2011. 437, № 4. 439-440.
  11. Bakushinsky A., Smirnova A., Liu H. A posteriori error analysis for unstable models // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. 20, N 4. 411-428.
  12. Becker R., Rannacher R. An optimal control approach to a posteriori error estimation in finite element method // Acta Numerica. 2001. 10. 1-102.
  13. Beilina L., Johnson C. A posteriori error estimation in computational inverse scattering // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2005. 15, N 1. 23-37.
  14. Beilina L., Klibanov M.V. A globally convergent numerical method for a coefficient inverse problem // SIAM J. Sci. Comput. 2008. 31, N 1. 478-509.
  15. Beilina L., Klibanov M.V. A posteriori error estimates for the adaptivity technique for the Tikhonov functional and global convergence for a coefficient inverse problem // Inverse Problems. 2010. 26, N 4. Article Number: 045012.
  16. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu. Iterative methods for approximate solution of inverse problems. Dordrecht: Springer, 2004.
  17. Bakushinsky A., Smirnova A. Irregular operator equations by iterative methods with undetermined reverse connection // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2010. 18, N 2. 147-165.
  18. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Алгоритмический анализ нерегулярных операторных уравнений. М.: ЛЕНАНД, 2012.
  19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
  20. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: ЛИБРОКОМ, 2010.
  21. Соловьёв В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2007. 47, № 8. 1365-1377.