Глобально сходящийся алгоритм конвексификации для одномерной обратной задачи электромагнитного частотного зондирования

Авторы

  • М.В. Клибанов
  • А. Тимонов

Ключевые слова:

электромагнитное частотное зондирование
минимизация выпуклых функций
сходимость
аппроксимация
метод наименьших квадратов
итерационные алгоритмы
математическое моделирование

Аннотация

Рассматривается глобально сходящийся алгоритм для численного решения обратной задачи электромагнитного частотного зондирования. Алгоритм реализует недавно предложенную авторами концепцию конвексификации (т.е. обеспечения выпуклости целевой функции) многоэкстремальной целевой функции, появляющейся в результате использования нелинейного метода наименьших квадратов. Основной особенностью алгоритма является то что, в отличие от методов «обдирания слоев», он обеспечивает устойчивое приближение посредством решения конечной последовательности задач минимизации строго выпуклых целевых функций, которые строятся с помощью нелинейного метода наименьших квадратов с карлемановскими весами. Предложенный алгоритм обеспечивает сходимость к «точному» решению независимо от выбора начального приближения. Это устраняет неопределенность, присущую градиентным или ньютоновским методам. Обратная задача магнитотеллурического зондирования выбрана в качестве модельного примера. Основываясь на свойстве локализации карлемановских весовых функций, доказывается, что расстояние между приближенным и «точным» решениями мало, если малы ошибки в данных. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, в которых используются модельные и реальные конфигурации, встречающиеся при магнитотеллурическом зондировании морских шельфовых зон. Результаты этих экспериментов демонстрируют применимость предложенного алгоритма в практических приложениях.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2003-02-10

Выпуск

Том 4 (2003): Выпуск 1.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

М.В. Клибанов

University of North Carolina at Charlotte,
Department of Mathematics and Statistics
Fretwell 376, 9201 University City Blvd., Charlotte, NC 28223, USA

А. Тимонов

University of North Carolina at Charlotte,
Department of Mathematics and Statistics
Fretwell 376, 9201 University City Blvd., Charlotte, NC 28223, USA

Библиографические ссылки

  1. Klibanov M.V. and Timonov A. «A new slant on the inverse problems of electromagnetic frequency sounding: «convexification» of a multiextremal objective function via the Carleman weight functions», Inverse Problems, T. 17: 1865-1887, 2001.
  2. Tikhonov A.N. Ön determining the electrical characteristics of deep layers of the Earth’s crust», Sov. Math. Dokl., 2: 295-297, 1950.
  3. Tikhonov A.N. «Mathematical basis of the theory of electromagnetic soundings», U.S.S.R. Comput. Math. Mathemat. Phys., T. 5: 207-211, 1965.
  4. Cagniard L. «Basic theory of the magnetotelluric method of geophysical prospecting», Geophysics, T. 37: 605-635, 1953.
  5. Berdichevsky M.N. and Zhdanov M.S. Advanced Theory of Deep Geomagnetic Sounding. New York: Elsevier Science Publishing Inc., 1984.
  6. Constable S.C. «Marine electromagnetic induction studies», Surv. Geophys., T. 11: 303-327, 1990.
  7. Palshin N.A. Öceanic electromagnetic studies: a review», Surv. Geophys., T. 17: 455-491, 1996.
  8. MARELEC 96, 99, 01. Proceedings of the 1st, 2nd, and 3rd International Conferences on Marine Electromagnetics. London, UK, June 1997; Brest, France, July 1999; Stockholm, Sweden, July 2001.
  9. Haber E., Asher U.M., and Oldenburg D. Ön optimization techniques for solving nonlinear inverse problems», Inverse Problems, T. 16: 1263-1280, 2000.
  10. Newman G.A. and Harvesten G.M. «Solution strategies for two- and three-dimensional electromagnetic inverse problems», Inverse Problems, T. 16: 1357-1375, 2000.
  11. Dmitriev V.I. and Alekseeva N.V. «An algorithm for the numerical solution of the inverse problem of MT sounding», in: Software Library for Geophysics (in Russian), Moscow: Moscow State University, 1984.
  12. Alexander J.C. and Yorke J.A. «The homotopy continuation method: numerically implementable topological procedures», Trans. Am. Math. Soc., T. 242: 271-284, 1978.
  13. Ramlau R. «A steepest descent algorithm for the global minimization of the Tikhonov functional», Inverse Problems, T. 18: 381-403, 2002.
  14. Bakushinsky A.B. and Goncharsky A.V. Ill-posed Problems: Theory and Applications. Dodrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  15. Himmelblau D.M. Applied Nonlinear Programming. New York: McGraw-Hill, 1972.
  16. Sylvester J. Layer Stripping. Surveys on Solution Methods for Inverse Problems. Ed. D. Colton, H. Engl, W. Rundell, etc. New York: Springer-Verlag, 2000.
  17. Chen Y., Rokhlin V. Ön the inverse scattering problem for the Helmholtz equation in one dimension», Inverse Problems, T. 8: 365-391, 1992.
  18. Somersalo E. «Layer stripping for time-harmonic Maxwell’s equations with high frequency», Inverse Problems, T. 10: 449-466, 1994.
  19. Klibanov M.V. and Timonov A. «A sequential minimization algorithm based on the convexification approach», Inverse Problems, 2003 (to appear).
  20. Levitan B.M. Inverse Sturm-Liouville Problems. Zeist: VSP, 1987.
  21. Khruslov E.Ya. and Shepelsky D.G. «Inverse scattering method in electromagnetic sounding theory», Inverse Problems, T. 10: 1-37, 1994.
  22. Rundell W. and Sacks P.E. «Reconstruction techniques for classical inverse Sturm-Liouville problems», Math Comput., T. 58: 161-183, 1992.
  23. Brown B.M., Samko V.S., Knowles I W., etc. «Inverse spectral problem for the Sturm-Liouville equation», Inverse Problems, T. 19: 235-252, 2003.
  24. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York: Springer, 1998.
  25. Klibanov M.V. «Global convexity in a three-dimensional inverse acoustic problem», SIAM J. Math. Anal., T. 28: 1371-1388, 1997.
  26. Tikhonov A.N. Ön stability of inverse problems», Sov. Math. Dokl., T. 39: 195-198, 1943.
  27. Lavrentiev M.M., Romanov V.G., and Shishatskii S.P. Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis. Providence R.I.: AMS, 1986.
  28. Arestov V.V. «Approximation of unbounded operators by bounded operators and related extremal problems», Russian Math. Surv., T. 51: 1093-1126, 1996.
  29. Lasdon L.S., Waren A.D., Jain A., and Ratner M. «Design and testing of a Generalized Reduced Gradient Code for nonlinear programming», ACM Trans. on Math. Software, T. 4: 34-50, 1978.
  30. Krylstedt P., Mattsson J., and Timonov A. 愦灭;quot愦灭;graveNumerical modeling of electromagnetic frequency sounding in marine environments: a comparison of local optimization techniques», in: Proceedings of the 3rd International Conference on Marine Electromagnetics, Stockholm, Sweden, July 2001.
  31. Romanov V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht: VNU, 1987.