Применение принципа двойственности в обратных задачах для параболических уравнений с неизвестной правой частью

Авторы

  • Н.Л. Гольдман

Ключевые слова:

параболические уравнения
обратные задачи
сопряженные задачи
задачи управления
принцип двойственности
теоремы единственности
пространства Гельдера

Аннотация

Рассматриваются вопросы применения принципа двойственности для доказательства теорем единственности в обратных параболических задачах с финальным переопределением. Такие задачи относятся к некорректно поставленным, что проявляется в возможном отсутствии решения и в его неустойчивости к погрешностям входных данных (построен соответствующий пример). Показано, что в случае существования решения оно может обладать свойством единственности. Предлагаемый подход позволяет установить связь проблемы единственности со свойствами плотности решений соответствующих сопряженных задач. Установлено, что они представляют собой задачи управления с управляющим воздействием в начальном условии. Показано, что эти свойства сопряженных задач являются, в свою очередь, следствием известного свойства обратной единственности для параболических операторов. Приведены примеры достаточности условий единственности, доказанных на основе принципа двойственности. Применение этого принципа позволяет изучить проблему единственности некорректных обратных задач в их исходных постановках, оставаясь в рамках параболических уравнений.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2014-03-09

Выпуск

Том 15 (2014): Выпуск 1.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Автор

Н.Л. Гольдман

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 119991, Москва
• ведущий научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. Гольдман Н.Л. Свойства решений параболических уравнений с неизвестной правой частью и их сопряженных задач // Доклады АН. 2008. 420, № 2. 151-156.
  2. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.
  3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
  4. Lees M., Protter M.H. Unique continuation for parabolic differential equations and inequalities // Duke Math. J. 1961. 28. 369-383.
  5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.
  6. Гольдман Н.Л. Однозначность определения функции источника в квазилинейной обратной задаче Стефана с финальным наблюдением // Доклады АН. 2012. 444, № 6. 597-601.
  7. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // Доклады АН. 1985. 280, № 3. 533-536.
  8. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1987. 23, № 11. 1971-1980.
  9. Isakov V. Inverse parabolic problems with the final overdetermination // Commun. on Pure and Applied Math. 1991. 14, N 2. 185-209.
  10. Костин А.Б. О комплексных собственных значениях эллиптического оператора и примере неединственности решения обратной задачи // Доклады АН. 2013. 453, № 2. 138-141.
  11. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
  12. Egger H., Engl H.W., Klibanov M.V. Global uniqueness and Hölder stability for recovering a nonlinear source term in a parabolic equation // Inverse Problems. 2005. 21, N 1. 271-290.
  13. Isakov V. On uniqueness in the inverse conductivity problem with local data // Inverse Problems and Imaging. 2007. 1. 95-105.
  14. Wang Y.B., Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M. A numerical method for solving the inverse heat conduction problem without initial value // Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. 18, N 5. 655-671.
  15. Slodiucka M., Lesnic D., Onyango T.T. M. Determination of a time-dependent heat transfer coefficient in a nonlinear inverse heat conduction problem // Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. 18, N 1. 65-81.
  16. Salva N.N., Tarzia D.A. Simultaneous determination of unknown coefficients through a phase-change process with temperature-dependent thermal conductivity // JP J. of Heat and Mass Transfer. 2011. 5, N 1. 11-39.
  17. Pyatkov S.G. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations // J. of Evolution Equations. 2011. 11, N 1. 155-186.
  18. Erdem A., Lesnic D., Hasanov A. Identification of a spacewise dependent heat source // Applied Math. Modelling. 2013. 37, N 24. 10231-10244.
  19. Wen J., Yamamoto M., Wei T. Simultaneous determination of a time-dependent heat source and the initial temperature in an inverse heat conduction problem // Inverse Problems in Science and Engineering. 2013. 21, N 3. 485-499.
  20. H`ao D.N., Thanh P.X., Lesnic D., Ivanchov M. Determination of a source in the heat equation from integral observations // J. of Computations and Applied Mathematics. 2014. 264, N 1. 82-98.

Лицензия

Copyright (c) 2014 Вычислительные методы и программирование

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.