Применение принципа Лагранжа для решения линейных некорректно поставленных обратных задач с использованием априорной информации о решении

Авторы

  • Е. Чжан
  • Д.В. Лукьяненко
  • А.Г. Ягола

Ключевые слова:

некорректно поставленные задачи
регуляризирующие алгоритмы
оптимальное восстановление
принцип Лагранжа
параметр регуляризации

Аннотация

Рассматриваются линейные некорректно поставленные задачи при наличии априорной информации о решении. С помощью метода расширяющихся компактов, принципа Лагранжа и теории оптимального восстановления функционала строится оптимальный регуляризирующий алгоритм для решения линейных некорректно поставленных задач с истокопредставимым решением и вычисляется соответствующая оптимальная апостериорная наихудшая оценка погрешности метода. Предлагается соответствующий численный метод, применение которого рассмотрено на примере решения уравнения теплопроводности. Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 11–01–00040, 12–01–00524 и 12–01–91153–ГФЕН_а).

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2013-11-05

Выпуск

Том 14 (2013): Выпуск 4.

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Авторы

Е. Чжан

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
физический факультет
Ленинские горы, 119992, Москва
• аспирант

Д.В. Лукьяненко

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
физический факультет
Ленинские горы, 119992, Москва
• ассистент

А.Г. Ягола

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
физический факультет
Ленинские горы, 119992, Москва
• профессор

Библиографические ссылки

  1. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
  2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
  3. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: УРСС, 2009.
  4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
  5. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1129. Berlin: Springer, 1985. 21-93.
  6. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем. заметки. 1991. 50, № 6. 85-93.
  7. Magaril-Ilyaev G.G., Osipenko K.Y., Tikhomirov V.M. Optimal recovery and extremum theory // Computational methods and function theory. 2002. 2, № 1. 87-112.
  8. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2000.
  9. Смоляк C.A. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1965.
  10. Баев А.В. Применение принципа Лагранжа в задаче оптимального обращения линейного оператора в случае истокообразной представимости точного решения операторного уравнения // Вычислительные методы и программирование, 2007. 8. 20-28.
  11. Ягола А.Г., Дорофеев К.Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1999. № 2. 64-66.
  12. Баев А.В. Принцип Лагранжа и конечномерная аппроксимация в задаче оптимального обращения линейных операторов // Вычислительные методы и программирование. 2006. 7. 323-336.
  13. Баев А.В. Оптимальный регуляризующий алгоритм восстановления функционала в линейных обратных задачах с истокопредставимым решением // Журн. вычислит. матем. и матем. физ. 2008. 48, № 11. 1933-1941.
  14. Баев А.В. Оптимальное восстановление и конечномерная аппроксимация в линейных обратных задачах // Матем. сборник. 2008. 199, № 12. 3-18.
  15. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
  16. Titarenko V.N., Yagola A.G. Error estimation for ill-posed problems on piecewise convex functions and sourcewise represented sets // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2008. 16, № 6. 625-638.
  17. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.
  18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
  19. Dantzig G.B. Linear programming and extensions. Princeton: Princeton Univ. Press, 1963.
  20. Ye Y. Interior point algorithm: theory and analysis. New York: Wiley, 1997.
  21. Padberg M. Linear optimization and extensions. Berlin: Springer, 1999.