Метод решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва
Ключевые слова:
обыкновенные дифференциальные уравнения
приближенные аналитические методы
численные методы
ортогональные разложения
смещенные ряды Чебышёва
квадратурные формулы Маркова
Аннотация
Предложен численно-аналитический метод решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на приближении решения и его производной частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Коэффициенты рядов определяются с помощью итерационного процесса с применением квадратурной формулы Маркова с одним или двумя фиксированными узлами. Метод дает аналитическое представление решения и его производной и может быть использован для вычисления решений обыкновенных дифференциальных уравнений с более высокой точностью и с более крупным шагом дискретизации по сравнению с методами типа Рунге-Кутта и Адамса.
Загрузки
Опубликован
2013-04-23
Выпуск
Раздел
Раздел 1. Вычислительные методы и приложения
Библиографические ссылки
- Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.
- Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1988.
- Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.
- Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.
- Бабенко К.И. Основы численного анализа. М: Наука, 1986.
- Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1998.
- Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
- Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2009. № 6. 18-22.
- Залеткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6, № 1. 141-157.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О некоторых свойствах частичных сумм рядов Чебышева // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2009. 14, № 3. 26-34.
- Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Математическое моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.
- Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 2. М.: Физматгиз, 1962.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2007.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе ортогональных разложений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2009. 14, № 4. 59-68.
- Arushanyan O.B., Zaletkin S.F. Application of Markov’s quadrature in orthogonal expansions // Moscow University Mathematics Bulletin. 2009. 64, № 6. 244-248.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2010. № 4. 40-43.
- Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Application of orthogonal expansions for approximate integration of ordinary differential equations // Moscow University Mathematics Bulletin. 2010. 65, № 4. 172-175.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышева // Сибирские электронные математические известия. 2010. 7. 122-131.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышева для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирские электронные математические известия. 2011. 8. 273-283.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов ортогональных разложений решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2011. 16, № 2. 41-47.
- Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышева // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2012. № 5. 24-30.
- Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Calculation of expansion coefficients of series in Chebyshev polinomials for a solution to a Cauchy problem // Moscow University Mathematics Bulletin. 2012. 67, № 5/6. 211-216.
- Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979.
- Gear C.W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.
- Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
- Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
- Беликов М.В. Метод численного интегрирования с чебышевской аппроксимацией для решения задач эфемеридной астрономии. Препринт № 4. Ленинград: Ин-т теор. астрономии, 1990.
- Беликов М.В., Трубицина А.А. Метод полиномиальной аппроксимации эфемеридных данных. Препринт № 10. Ленинград: Ин-т теор. астрономии, 1990.
- Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. On the calculation of Chebyshev series for solutions of ordinary differential equations // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2011. 8. 273-283.
- Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Approximate solution of ordinary differential equations using Chebyshev solutions // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2010. 7. 122-131.
