Стационарное распределение произведения матриц со случайными коэффициентами
Ключевые слова:
стационарное распределение, произведение матриц, интегральное уравнение, уравнение ЯкобиАннотация
Изучение вероятностных свойств произведения большого числа независимых одинаково распределенных случайных матриц опирается на ряд результатов Г. Ферстенберга (1963). В частности, им доказана эргодичность марковской цепи, которая порождается действием случайных матриц на некотором компактном однородном пространстве группы матриц $W$, которое называется границей группы матриц. Стационарное распределение этой цепи (инвариантная вероятностная мера) определяет параметры предельного поведения произведения матриц. До сих пор эта мера была найдена лишь в простейших случаях. На примере фундаментальной матрицы для уравнения Якоби со случайной кривизной мы численно рассчитали инвариантную меру и по ней вычислили показатель Ляпунова и скорости роста моментов поля Якоби. Результаты сравниваются с результатами, полученными ранее с помощью метода Монте-Карло, причем обнаруживается высокая степень совпадения результатов.
Библиографические ссылки
- Bellman R. Limit theorem for non-commutative operations // I. Duke Math. J. 1954. 21. 491-500.
- Bougerol P., Lacroix J. Product of random matrices with application to Schrödinger operators // Progress in Probability and Statistics. 1985. 8. 1-283.
- Comtet A., Texier C., Tourigny Y. Products of random matrices and generalized quantum point scatterers // J. of Statistical Physics. 2010. 140. 427-466.
- Furstenberg H. Noncommuting random products // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. 108. 377-428.
- Tutubalin V.N. A central limit theorem for products of random matrices and some of its applications // Symposia Mathematica. 1977. XXI. 101-116.
- Михайлов Е.А., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Фундаментальная матрица для уравнений Якоби со случайными коэффициентами // Вычислительные методы и программирование. 2010. 11. 103-110.
- Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Molchanov S.A., Sokoloff D.D. Kinematic dynamo problem in a linear velocity field // J. Fluid Mech. 1984. 144. 1-11.
