https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r440

Разностная схема, аппроксимирующая смешанную краевую задачу для уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто–Фабрицио по времени

Авторы

  • К. Р. Кадиев

Ключевые слова:

производная дробного порядка
уравнение теплопроводности
разностная схема
устойчивость разностной схемы

Аннотация

В последнее время для описания различных физических процессов в средах с нестандартной структурой широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется задачам для уравнений в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений целого порядка. Капуто и Фабрицио предложили новую производную дробного порядка без сингулярного ядра, которая обладает полезными свойствами для моделирования во многих областях науки. В данной работе исследована начально-краевая задача в прямоугольнике для уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто–Фабрицио по времени. Построена неявная разностная схема для численного решения этой задачи. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка для решения задачи в разностной форме. Эти неравенства обеспечивают устойчивость схемы, единственность решения и его непрерывную зависимость от входных данных. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной задачи. Проведенный вычислительный эксперимент подтвердил достоверность теоретических результатов.


Загрузки

Опубликован

2026-10-30

Выпуск

Том 27 (2026): Выпуск 4.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Автор

К. Р. Кадиев

Дагестанский государственный университет

• аспирант

Библиографические ссылки

  1. V. V. Uchaykin, Metod drobnykh proizvodnykh textnormal[Method of Fractional Derivativestextnormal] (Artishok, Ul’yanovsk, 2008) [in Russian].
  2. V. E. Tarasov, “Fractional Integro-Differential Equations for Electromagnetic Waves in Dielectric Media,” Theor. Math. Phys. 158 (3), 355–359 (2009).
    doi 10.1007/s11232-009-0029-z
  3. E. F. D. Gufo, “Application of the Caputo-Fabrizio Fractional Derivative without a Singular Kernel to the Korteweg-de Vries-Burgers Equation,” Math. Model. Anal. 21 (2), 188–198 (2016).
    doi 10.3846/13926292.2016.1145607
  4. E. F. D. Gufo, M. K. Pene, and J. N. Mwambakanah, “Duplication in a Model of Rock Fracture with Fractional Derivative without Singular Kernel,” Open Math. 13 (1), 839–846 (2015).
    doi 10.1515/math-2015-0078
  5. V. D. Beybalaev, A. A. Aliverdiev, and J. Hristov, “Transient Heat Conduction in a Semi-Infinite Domain with a Memory Effect: Analytical Solutions with a Robin Boundary Condition,” Fractal Fract. 7 (10), Article Number 770 (2023).
    doi 10.3390/fractalfract7100770
  6. J. F. Gomez-Aguilar, M. G. Lopez-Lopez, V. M. Alvarado-Martinez, et al., “Modeling Diffusion Transport with a Fractional Derivative without Singular Kernel,” Phys. A: Stat. Mech. Appl. 447 (C), 467–481 (2016).
    doi 10.1016/j.physa.2015.12.066
  7. V. D. Beybalaev and T. I. Ibavov, “Initial-boundary value problem for nonstationary heat conduction equation in a bounded domain with non-insulated lateral surface,” Vestn. Sam. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki 29 (3), 554–565 (2025).
    doi 10.14498/vsgtu2155
  8. K. Diethelm, N. J. Ford, and A. D. Freed, “Detailed Error Analysis for a Fractional Adams Method,” Numer. Algorithms 36 (1), 31–52 (2004).
    doi 10.1023/B:NUMA.0000027736.85078.be
  9. M. Caputo and M. Fabrizio, “A New Definition of a Fractional Derivative without Singular Kernel,” Prog. Fract. Differ. Appl. 1 (2), 73–85 (2015).
    doi 10.12785/pfda/010201
  10. J. Crank and P. Nicholson, “A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type,” Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 43 (1), 50–67 (1947).
    doi 10.1017/S0305004100023197
  11. R. Lin, F. Liu, V. Anh, and I. Turner, “Stability and Convergence of a New Explicit Finite-Difference Approximation for the Variable-Order Nonlinear Fractional Diffusion Equation,” Appl. Math. Comput. 212 (2), 435–445 (2009).
    doi 10.1016/j.amc.2009.02.047
  12. J. Losada and J. J. Nieto, “Properties of a New Fractional Derivative without a Singular Kernel,” Prog. Fract. Differ. Appl. 1 (2), 87–92 (2015).
  13. A. Atangana and J. J. Nieto, “ Numerical solution for the model of RLC circuit via the fractional derivative without singular kernel,” Adv. Mech. Eng. 7 (10), 1–7 (2015).
    doi 10.1177/1687814015613758
  14. I. Podlubny, A. Chechkin, T. Skovranek, et al., “Matrix approach to discrete fractional calculus II: partial fractional differential equations,” J. Comput. Phys. 228 (8), 3137–3153 (2009).
    doi 10.1016/j.jcp.2009.01.014
  15. J. Shi and M. Chen, “A Second-Order Accurate Scheme for Two-Dimensional Space Fractional Diffusion Equations with Time Caputo-Fabrizio Fractional Derivative,” Appl. Numer. Math. 151, 246–262 (2020).
    doi 10.1016/j.apnum.2020.01.007
  16. V. Thomée, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, 2nd ed. Springer Series in Computational Mathematics (SSCM, Vol. 25)(Springer, Berlin, 2006).
    doi 10.1007/978-3-662-03359-3
  17. Y. Tian and J. R. Wang, “On Some Hermite-Hadamard-Type Inequalities for Convex Functions via Hadamard Fractional Integrals,” Prog. Fract. Differ. Appl. 1 (2), 103–110 (2015).
  18. A. A. Samarskii, Teoriya raznostnykh skhem textnormal[Theory of Difference Schemestextnormal] (Moscow: Nauka, 1983) [in Russian].
  19. W. H. Young, “On Classes of Summable Functions and Their Fourier Series,” Proc. Royal Soc. A 87 (594), 225–229 (1912).
    doi 10.1098/rspa.1912.0076
  20. B. G. Pachpatte, “On discrete inequalities related to Gronwall’s inequality,” Proceedings of the Indian Academy of Sciences – Section A. 85 (1), 26–40 (1977).
    doi 10.1007/BF03051385

Лицензия

Copyright (c) 2026 К. Р. Кадиев

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.