https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r209

Конечно-разностная схема расщепления для численного моделирования течения крови в артериях

Авторы

  • Г. В. Кривовичев
  • Р. В. Пухаленко

Ключевые слова:

уравнения гемодинамики
схема расщепления
устойчивость

Аннотация

Работа посвящена построению схемы расщепления для численного решения одномерных уравнений, описывающих течение крови. Такие уравнения получаются посредством осреднения системы уравнений гидродинамики по поперечному сечению сосуда. Предложена нелинейная неявная схема с конечно-разностными аппроксимациями второго порядка по пространственной переменной. Показана безусловная устойчивость схемы по начальным условиям. Для практической реализации предлагается применять метод расщепления, при котором расчеты на каждом слое по времени проводятся в два этапа. Это позволяет свести задачу к последовательному решению линейных систем с трехдиагональными матрицами. При решении тестовой задачи с известным аналитическим решением показано, что на практике достигается второй порядок сходимости. Проведены численные эксперименты по сравнению предложенной схемы с известными явными разностными схемами второго порядка, в ходе которых исследовались течения в модельных сосудистых системах. Показано, что предложенная схема обладает большей вычислительной эффективностью и позволяет проводить расчеты с меньшим числом шагов и за меньшее время.


Загрузки

Опубликован

2026-04-01

Выпуск

Том 27 (2026): Выпуск 2.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Авторы

Г. В. Кривовичев

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики–процессов управления

• профессор

Р. В. Пухаленко

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики–процессов управления

• студент

Библиографические ссылки

  1. Yu. V. Vassilevski, S. S. Simakov, T. M. Gamilov, et al., “Personalization of Mathematical Models in Cardiology: Obstacles and Perspectives,” Computer Research and Modeling (Komp’yuternye Issledovaniia i Modelirovanie) 14 (4), 911–930 (2022).
    doi 10.20537/2076-7633-2022-14-4-911-930
  2. E. Marchandise, M. Willemet, and V. Lacroix, “A Numerical Hemodynamic Tool for Predictive Vascular Surgery,” Medical Engineering and Physics 31 (1), 131–144 (2009).
    doi 10.1016/j.medengphy.2008.04.015
  3. A. A. Aksenov, M. D. Kalugina, A. I. Lobanov, and V. S. Kashirin, “Numerical Simulation of Fluid Flow in a Blood Pump in the FlowVision Software Package,” Computer Research and Modeling (Komp’yuternye Issledovaniia i Modelirovanie) 15 (4), 1025–1038 (2023).
    doi 10.20537/2076-7633-2023-15-4-1025-1038
  4. M. D. Kalugina, V. S. Kashirin, and A. I. Lobanov, “Validation Calculations of Hemodynamic Problems Using the FlowVision Software Package in Parallel Mode,” Numerical Methods and Programming (Vychislitel’nye Metody i Programmirovanie) 24 (2), 132–141 (2023).
    doi 10.26089/NumMet.v24r210
  5. A. Ya. Bunicheva, S. I. Mukhin, N. V. Sosnin, and A. B. Khrulenko, “Quasi-One-Dimensional Models of Hemodynamics,” Bulletin of Moscow University. Series 15. Computational Mathematics and Cybernetics (Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 15: Vychislitel’naya Matematika i Kibernetika) 4, 44–59 (2024).
    doi 10.55959/MSU/0137-0782-15-2024-47-4-44-59
  6. S. S. Simakov, “Modern Methods of Mathematical Modeling of Blood Flow Using Reduced Order Methods,” Computer Research and Modeling (Komp’yuternye Issledovaniia i Modelirovanie) 10 (5), 581–604 (2018).
    doi 10.20537/2076-7633-2018-10-5-581-604
  7. L. Formaggia, D. Lamponi, and A. Quarteroni, “One-Dimensional Models for Blood Flow in Arteries,” Journal of Engineering Mathematics 47 (3–4), 251–276 (2003).
    doi 10.1023/B:ENGI.0000007980.01347.29
  8. N. Xiao, J. Alastruey, and C. A. Figueroa, “A Systematic Comparison Between 1-D and 3-D Hemodynamics in Compliant Arterial Models,” International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering 30 (2), 203–231 (2014).
    doi 10.1002/cnm.2598
  9. X. Wang, J.-M. Fullana, and P.-Y. Lagree, “Verification and Comparison of Four Numerical Schemes for a 1D Viscoelastic Blood Flow Model,” Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering 18 (15), 1704–1725 (2015).
    doi 10.1080/10255842.2014.948428
  10. A. Beckers. and N. Kolbe, “The Lax–Friedrichs Method in One-Dimensional Hemodynamics and its Simplifying Effect on Boundary and Coupling Conditions,” Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 1–14 (2025).
    doi 10.1080/10255842.2025.2532027
  11. D. Elad, D. Katz, E. Kimmel, and S. Einav, “Numerical Schemes for Unsteady Fluid Flow Through Collapsible Tubes,” Journal of Biomedical Engineering 13 (1), 10–18 (1991).
    doi 10.1016/0141-5425(91)90038-9
  12. N. P. Smith, A. J. Pullan, and P. J. Hunter, “An Anatomically Based Model of Transient Coronary Blood Flow in the Heart,” SIAM Journal on Applied Mathematics 62 (3), 990–1018 (2002).
    doi 10.1137/S0036139999355199
  13. Z. Duanmu, W. Chen, H. Gao, et al., “A One-Dimensional Hemodynamic Model of the Coronary Arterial Tree,” Frontiers in Physiology 10, Articale Number 853 (2019).
    doi 10.3389/fphys.2019.00853
  14. M. S. Olufsen, C. S. Peskin, W. Y. Kim, et al., “Numerical Simulation and Experimental Validation of Blood Flow in Arteries with Structured-Tree Outflow Conditions,” Annals of Biomedical Engineering 28 (11), 1281–1299 (2000).
    doi 10.1114/1.1326031
  15. M. Saito, Y. Ikenaga, M. Matsukawa, et al., “One-Dimensional Model for Propagation of a Pressure Wave in a Model of the Human Arterial Network: Comparison of Theoretical and Experimental Results,” Journal of Biomechanical Engineering 133 (12), Articale Number 121005 (2011).
    doi 10.1115/1.4005472
  16. A. K. Diem and N. W. Bressloff, “VaMpy: A Python Package to Solve 1D Blood Flow Problems,” Journal of Open Research Software 5 (1), Articale Number 17 (2017).
    doi 10.5334/jors.159
  17. I. V. Ashmetkov, S. I. Mukhin, N. V. Sosnin, et al., “Analysis and Comparison of Some Analytic and Numerical Solutions of Hemodynamic Problems,” Differ. Uravn. 2000. 36, N 7. 919–924. [Differential Equations 36 (7), 1021–1026 (2000)].
    doi 10.1007/BF02754503
  18. D. Bessems, M. C. M. Rutten, and F. N. van de Vosse, “A Wave Propagation Model of Blood Flow in Large Vessels Using an Approximate Velocity Profile Function,” Journal of Fluid Mechanics 580, 145–168 (2007).
    doi 10.1017/S0022112007005344
  19. S. M. Watanabe, P. J. Blanco, and R. A. Feijoo, “Mathematical Model of Blood Flow in an Anatomically Detailed Arterial Network of the Arm,” ESAIM: M2AN 47 (4), 961–985 (2013).
    doi 10.1051/m2an/2012053
  20. W. Kroon, W. Huberts, M. Bosboom, and F. van de Vosse, “A Numerical Method of Reduced Complexity for Simulating Vascular Hemodynamics Using Coupled 0D Lumped and 1D Wave Propagation Models,” Computational and Mathematical Methods in Medicine 2012 (6), Articale Number 156094 (2012).
    doi 10.1155/2012/156094
  21. J. Carson and R. van Loon, “An Implicit Solver for 1D Arterial Network Models,” International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering 33 (7), Articale Number e2837 (2017).
    doi 10.1002/cnm.2837
  22. G. V. Krivovichev, “Difference Splitting Schemes for the System of One-Dimensional Equations of Hemodynamics,” Computer Research and Modeling (Komp’yuternye Issledovaniia i Modelirovanie) 16 (2), 459–488 (2024).
    doi 10.20537/2076-7633-2024-16-2-459-488
  23. C. Puelz, S. Canic, B. Riviere, and C. G. Rusin, “Comparison of Reduced Models for Blood Flow Using Runge Kutta Discontinuous Galerkin Methods,” Applied Numerical Mathematics 115, 114–141 (2017).
    doi 10.1016/j.apnum.2017.01.005
  24. E. F. Toro, “Brain Venous Haemodynamics, Neurological Diseases and Mathematical Modelling. A Review,” Applied Mathematics and Computation 272 (P2), 542–579 (2015).
    doi 10.1016/j.amc.2015.06.066
  25. P. N. Vabishchevich, “Decoupling Schemes for Predicting Compressible Fluid Flows,” Computers and Fluids 171, 94–102 (2018).
    doi 10.1016/j.compfluid.2018.06.012
  26. L. Formaggia, J.-F. Gerbeau, F. Nobile, and A. Quarteroni, “On the Coupling of 3D and 1D Navier–Stokes Equations for Flow Problems in Compliant Vessels,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 191 (6–7), 561–582 (2001).
    doi 10.1016/S0045-7825(01)00302-4
  27. D. Xiu and S. J. Sherwin, “Parametric Uncertainty Analysis of Pulse Wave Propagation in a Model of a Human Arterial Network,” Journal of Computational Physics 226 (2), 1385–1407 (2007).
    doi 10.1016/j.jcp.2007.05.020
  28. S. Simakov and T. Gamilov, “Computational Study of the Cerebral Circulation Accounting for the Patient Specific Anatomical Features,” in Proceedings of the International Conference on 50 years of the Development of Grid-Characteristic Method(Smart Modeling for Engineering Systems, Vol. 133, 2019), pp. 309–330.
    doi 10.1007/978-3-030-06228-6_25
  29. A. R. Ghigo, P.-Y. Lagree, and J.-M. Fullana, “A Time-Dependent Non-Newtonian Extension of a 1D Blood Flow Model,” Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 253, 36–49 (2018).
    doi 10.1016/j.jnnfm.2018.01.004

Лицензия

Copyright (c) 2026 Г. В. Кривовичев, Р. В. Пухаленко

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.