https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r324

Метод граничных элементов для вычисления 2D емкостей в задачах экстракции

Авторы

  • В. В. Сазонов
  • М. М. Хапаев

Ключевые слова:

экстракция
матрица емкости
метод граничных элементов

Аннотация

В работе рассматриваются двумерные задачи вычисления электростатической матрицы емкости, возникающие при математическом моделировании микроэлектронных структур с помощью эквивалентных схем с сосредоточенными параметрами на этапе физической верификации (задача экстракции). Такие задачи имеют ряд особенностей, к которым относится сложная структура диэлектриков и проводников, а также необходимость корректной генерации данных для массовых вычислений. Для численного решения применяется метод граничных элементов, использующий представление решения в виде потенциала простого слоя. Рассматриваются две современные реализации этого известного подхода, основанные на простом методе Галеркина и нестандартном методе коллокации, дополненные априорно генерируемой адаптированной вычислительной сеткой. Проводится сравнение сходимости, точности и быстродействия этих алгоритмов. Метод Галеркина точнее для систем уравнений с матрицей умеренной размерности, тогда как коллокационная процедура быстрее в случае матриц большой размерности. Оба алгоритма достаточно эффективны и могут быть использованы как составная часть вычислительных методов экстракции. Обсуждаются дополнительные задачи, связанные с вычислением матрицы емкости, в том числе моделирование плавающих проводников и вычисление производных емкостей по геометрическим и другим параметрам.


Загрузки

Опубликован

2026-07-14

Выпуск

Том 27 (2026): Выпуск 3.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Авторы

В. В. Сазонов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, факультет космических исследований

• декан

М. М. Хапаев

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

• доцент

Библиографические ссылки

  1. L. Lavagno, I. L. Markov, G. Martin, and L. K. Scheffer (eds.), Electronic Design Automation for IC Implementation, Circuit Design, and Process Technology (2nd ed.)(CRC Press, Boca Raton, 2016).
    doi 10.1201/9781315215112
  2. Yangyuan Wang, Min-Hwa Chi, Jesse Jen-Chung Lou, and Chun-Zhang Chen (eds.), Handbook of Integrated Circuit Industry(Springer Nature, Singapore, 2024).
    doi 10.1007/978-981-99-2836-1
  3. R. J. Baker (ed.), CMOS. Circuit Design, Layout, and Simulation (2nd ed.)(IEEE Press, 2005).
  4. W. H. Kao, Chi-Yuan Lo, M. Basel, and R. Singh, “Parasitic extraction: current state of the art and future trends,” Proceedings of the IEEE 89 (5), 729–739 (2001).
    doi 10.1109/5.929651
  5. M. Bachtold, M. Spasojevic, C. Lage, and P. B. Ljung, “A system for full-chip and critical net parasitic extraction for ULSI interconnects using a fast 3-D field solver,” IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems 19 (3), 325–338 (2000).
    doi 10.1109/43.833201
  6. D. Sitaram, Yu Zheng, and K. L. Shepard, “Full-Chip, Three-Dimensional Shapes-Based RLC Extraction,” IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems 23 (5), 711–727 (2004).
    doi 10.1109/TCAD.2004.826545
  7. W. Yu and X. Wang, Advanced Field-Solver Techniques for RC Extraction of Integrated Circuits(Springer Press, Tsinghua University Press, 2014).
    doi 10.1007/978-3-642-54298-5
  8. Jidan-Ming Jin, The Finite Element Method in Electromagnetics, 3rd ed.(Wiley-IEEE Press, 2014).
  9. D. Ren, X. Xu, H. Qu, and Z. Ren, “Two-dimensional parasitic capacitance extraction for integrated circuit with dual discrete geometric methods,” Journal of Semiconductors 36 (4), Articale Number 045008 (2015).
    doi 10.1088/1674-4926/36/4/045008
  10. M. Costabel, “Principles of boundary element methods,” Computer Physics Reports 6 (1–6), 243–274 (1987).
    doi 10.1016/0167-7977(87)90014-1
  11. J. Gwinner and E. P. Stephan, Advanced Boundary Element Methods: Treatment of Boundary Value, Transmission and Contact Problems(Springer, Cham, 2018).
    doi 10.1007/978-3-319-92001-6
  12. K. Zhai and W. Yu, “The 2-D boundary element techniques for capacitance extraction of nanometer VLSI interconnects,” International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields 27 (4), 656–668 (2014).
    doi 10.1002 jnm.1934.
  13. A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics(Courier Corporation, USA, 2013).
  14. Eigen: A C++ template library for linear algebra.
    https://libeigen.gitlab.io Cited May 27, 2026.
  15. M. M. Khapaev and M. Yu. Kupriyanov, “Calculation of the Inductance of Normal Conductors and Superconductor,” Differential Equations 58 (8), 1142–1151 (2022).
    doi 10.1134/S0012266122080146
  16. N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E.A. Alshina, and B. V. Rogov, Computations on Quasi-Uniform Grids(PhysMathLit, Moscow, 2005). [in Russian].
  17. Y. Yan and I. H. Sloan, “Mesh grading for integral equations of the first kind with logarithmic kernel,” SIAM J. Numer. Anal. 26 (3), 574–587 (1989).
    doi 10.1137/0726034 rlitemrfa: rulit: VB1 J. van Bladel, Singular Electromagnetic Fields and Sources. IEEE Press series on electromagnetic wave theory(IEEE Press, 1991).
  18. J. van Bladel, Electromagnetic Fields, IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory, 2nd ed.(John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2007).
  19. M. B. Bazdar, A. R. Djordjevic, R. F. Harrington, and T. K. Sarkar, “Evaluation of Quasi-Static Matrix Parameters for Multiconductor Transmission Lines Using Galerkin’s Method,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 42 (7), 1223–1228 (1994).
    doi 10.1109/22.299760
  20. M. M. Khapaev (Jr.), “A boundary-element method for problems with corners and mixed boundary-conditions,” Differ. Uravn. 1991. 27 (7), 1263–1267.[Differ. Equ. 27 (7), 895–898 (1991)].
  21. sky130_cds/PEX/sky130.ict at main · stineje/sky130_cds · GitHub.
    https://github.com/stineje/sky130_cds/blob/main/PEX/sky130.ict, Cited May 27, 2026.
  22. cirkopt/liberate/models/ictfile at main · tomdriley/cirkopt · GitHub.
    https://github.com/tomdriley/cirkopt/blob/main/liberate/models/ictfile, Cited May 27, 2026.
  23. I. Smolić and B. Klajn, “Capacitance Matrix Revisited,” Progress In Electromagnetics Research B 92, 1–18 (2021).
    doi 10.2528/PIERB21011501
  24. A. Y. Boiko, A. E. Bezrukov, A. S. Rusakov, D. F. Tkachev, and M. M. Khapaev, “New algorithm for calculation of 2D capacitances in extraction,” in Problems of Perspective Microelectronic Systems Development. Scientific Proceedings, vol. 1(IPPM RAN, Moscow, 2006), pp. 76–80. [in Russian].
  25. J. Ureel and D. De Zutter, “Shape sensitivities of capacitances of planar conducting surfaces using the method of moments,” IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 44 (2), 198–207 (1996).
    doi 10.1109/22.481568
  26. J. Vlach and K. Singhal, Computer methods for circuit analysis and design(VNR, NY, 1983; Radio i svyaz, Moscow, 1988).
  27. N. K. Nikolova, J. W. Bandler, and M. H. Bakr, “Adjoint Techniques for Sensitivity Analysis in High-Frequency Structure CAD,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 52 (1), 403–419 (2004).
    doi 10.1109/TMTT.2003.820905
  28. T. El-Moselhy, I. M. Elfadel, and D. Widiger, “Efficient algorithm for the computation of on-chip capacitance sensitivities with respect to a large set of parameters,” in Proceedings of the 45th annual Design Automation Conference (DAC’08), Anaheim, CA, USA, June 8–13, 2008(IEEE Press, 2008), pp. 906–911.
    doi 10.1145/1391469.1391699
  29. Z. Gao, D. Ren, S. Yan, et al., “Computation of sensitivities of IC interconnect parasitic capacitances to the process variation with dual discrete geometric methods,” J. Semicond. 37 (8), Article Number 085003 (2016).
    doi 10.1088/1674-4926/37/8/085003
  30. LCR2D.
    http://vmbak.cs.msu.ru/sotr/vmhap/lcr2d/lcr2d.html Cited May 27, 2026.
  31. LCR2D: 2D field solver for calculation of inductances, capacitances and resistances.
    http://vmbak.cs.msu.ru/sotr/vmhap/lcr2d/lcr_man.pdf Cited May 27, 2026.
  32. Fast Field Solvers FasterCap.
    https://www.fastfieldsolvers.com/fastercap.htm Cited May 27, 2026.

Лицензия

Copyright (c) 2026 В. В. Сазонов, М. М. Хапаев

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.