DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r102

Численное решение задачи определения начального условия в задаче Коши для гиперболического уравнения с малым параметром

Авторы

  • Д.С. Андрианов

Ключевые слова:

обратная задача
гиперболическое уравнение
сингулярное возмущение
метод квазиобращения
численные методы

Аннотация

В статье рассматривается обратная задача определения начального условия для сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с малым параметром. Неизвестная нечетная функция находится с использованием дополнительных данных о производной решения в фиксированной пространственной точке. Основной результат работы состоит в сведении исходной некорректной задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, для численного решения которого разработан итерационный метод. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность алгоритма.


Загрузки

Опубликован

2026-01-28

Выпуск

Том 27 (2026): Выпуск 1.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Автор

Д.С. Андрианов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

• аспирант

Библиографические ссылки

  1. A. N. Tikhonov and V. Ia. Arsenin, Methods for Solving Incorrect Problems (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
  2. A. M. Denisov, Introduction to the Theory of Inverse Problems (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1994) [in Russian].
  3. M. M. Lavrentév, V. G. Romanov, and S. P. Shishatskii, Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis (Nauka, Moscow, 1980) [in Russian].
  4. V. K. Ivanov, V. V. Vasin, and V. P. Tanana, Theory of Linear Ill-Posed Problems and Its Applications (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
  5. V. G. Romanov, Inverse Problems of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
  6. S. I. Kabanikhin, Inverse and Ill-Posed Problems (Sib. Nauchn. Izd., Novosibirsk, 2009) [in Russian].
  7. R. Lattes and J.-L. Lions, The Method of Quasi-inversion and Its Applications (Mir, Moscow, 1970) [in Russian].
  8. V. K. Ivanov, “The Quasi-inversion Problem for the Heat Equation in the Uniform Metric,” Differ. Uravn. 8 (4), 652–658 (1972).
    https://www.mathnet.ru/de1532 Cited January 19, 2026.
  9. A. A. Samarskii and P. N. Vabishchevich, Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics (Editorial URSS, Moscow, 2004) [in Russian].
  10. E. V. Tabarintseva, L. D. Menikhes, and A. D. Drozin, “On solving an inverse boundary problem for a parabolic equation by the quasi-revesibility method,” Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Fiz., No. 6, 8–13 (2012).
    https://www.mathnet.ru/rus/vyurm100 Cited January 19, 2026.
  11. A. I. Korotkii, I. A. Tsepelev, and A. T. Ismail-Zadeh, “Numerical Modeling of the Inverse Retrospective Problem of Thermal Convection with Applications to Geodynamic Problems,” Izv. Ural. Gos. Univ., No. 58, 78–87 (2008).
    http://elar.urfu.ru/handle/10995/24610 Cited January 20, 2026.
  12. A. M. Denisov, “Approximate Solution of an Inverse Problem for a Singularly Perturbed Integro-Differential Heat Equation,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 63 (5), 795–802 (2023) [Comput. Math. Math. Phys. 63 (5), 837–844 (2023)].
    https://doi.org/10.1134/S0965542523050081 Cited January 20, 2026.
  13. N. Levashova, A. Gorbachev, R. Argun, and D. Lukyanenko, “The Problem of the Non-Uniqueness of the Solution to the Inverse Problem of Recovering the Symmetric States of a Bistable Medium with Data on the Position of an Autowave Front,” Symmetry 13 (5), Article Number 860 (2021).
    doi 10.3390/sym13050860
  14. D. V. Lukyanenko, A. A. Borzunov, and M. A. Shishlenin, “Solving Coefficient Inverse Problems for Nonlinear Singularly Perturbed Equations of the Reaction-Diffusion-Advection Type with Data on the Position of a Reaction Front,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 99, Article Number 105824 (2021).
    doi 10.1016/j.cnsns.2021.105824
  15. D. V. Lukyanenko, M. A. Shishlenin, and V. T. Volkov, “Asymptotic Analysis of Solving an Inverse Boundary Value Problem for a Nonlinear Singularly Perturbed Time-Periodic Reaction-Diffusion-Advection Equation,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 27 (5), 745–758 (2019).
    doi 10.1515/jiip-2017-0074
  16. A. M. Denisov, “Approximate Solution of Inverse Problems for the Heat Equation with a Singular Perturbation,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 61 (12), 2040–2049 (2021) [Comput. Math. Math. Phys. 61 (12), 2004–2014 (2021)].
    doi 10.1134/S0965542521120071
  17. A. M. Denisov and S. I. Solovéva, “Numerical Solution of Problems of Determining the Initial Condition in Cauchy Problems for a Hyperbolic Equation with a Small Parameter,” Prikl. Mat. Inform. 54, 5–12 (2017).
  18. A. M. Denisov, “Asymptotic Expansions of Solutions to Inverse Problems for a Hyperbolic Equation with a small Parameter Multiplying the Highest Derivative,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 53 (5), 744–752 (2013) [Comput. Math. Math. Phys. 53 (5), 580–587 (2013)].
    https://doi.org/10.1134/S0965542513050047 Cited January 21, 2026.
  19. B. M. Budak, A. A. Samarskii, and A. N. Tikhonov, A Collection of Problems on Mathematical Physics (Gostekhizdat, Moscow, 1956) [in Russian].
  20. A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics , 4th ed. (Nauka, Moscow, 1972) [in Russian].
  21. H. Bateman, Higher Transcendental Functions , Vol. 2 (McGraw-Hill, New York, 1953).

Лицензия

Copyright (c) 2026 Д.С. Андрианов

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.