DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v26r429

Два десятилетия алгоритмической редукции фейнмановских интегралов

Авторы

  • А. В. Смирнов
  • В. А. Смирнов

Ключевые слова:

Интегралы Фейнмана
размерностная регуляризация
интегрирование по частям
мастер-интегралы

Аннотация

Статья представляет собой историографический обзор алгоритмов и компьютерных программ, разработанных для решения соотношений интегрирования по частям для фейнмановских интегралов. Соответствующая процедура решения является одним из ключевых этапов при вычислении этих интегралов, поскольку позволяет выражать интегралы, принадлежащие заданному семейству, в виде линейных комбинаций мастер-интегралов. В данном обзоре рассматриваются универсальные алгоритмы, которые, в принципе, могут быть применены к любому семейству фейнмановских интегралов.


Загрузки

Опубликован

2025-10-29

Выпуск

Том 26 (2025): Выпуск 4.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Авторы

А. В. Смирнов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский вычислительный центр

• заведующий лабораторией

В. А. Смирнов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, НИИ ядерной физики имени Д.В. Скобельцына (НИИЯФ МГУ)

• ведущий научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. K. G. Chetyrkin, F. V. Tkachov, “Integration by parts: The algorithm to calculate β-functions in 4 loops,” Nucl. Phys. B 192 (1), 159-204 (1981).
    doi 10.1016/0550-3213(81)90199-1
  2. S. G. Gorishny, S. A. Larin, L. R. Surguladze, F. V. Tkachov, “Mincer: Program for Multiloop Calculations in Quantum Field Theory for the Schoonschip System,” Comput. Phys. Commun. 55 (3), 381-408 (1989).
    doi 10.1016/0010-4655(89)90134-3
  3. S. A. Larin, F. V. Tkachov, J. A. M. Vermaseren, , “The FORM version of MINCER,” Preprint NIKHEF-H/91-18 (National Institute for Subatomic Physics (NIKHEF), Amsterdam, Netherlands, 1991).
    https://inis.iaea.org/records/y68hj-8d895.
  4. J. A. M. Vermaseren, “New features of FORM,” arXiv: math-ph/0010025 (2000).
    doi 10.48550/arXiv.math-ph/0010025
  5. A. V. Smirnov and A. V. Petukhov, “The Number of Master Integrals is Finite,” Lett. Math. Phys. 97 (1), 37-44 (2011).
    doi 10.1007/s11005-010-0450-0
  6. S. Laporta, “High-precision calculation of multiloop Feynman integrals by difference equations,” Int. J. Mod. Phys. A 15 (32), 5087-5159 (2000).
    doi 10.1142/S0217751X00002159
  7. C. Anastasiou and A. Lazopoulos, “Automatic integral reduction for higher order perturbative calculations,” J. High Energy Phys. No. 7, Article Number 046 (2004).
    doi 10.1088/1126-6708/2004/07/046
  8. T. Gehrmann, E. Remiddi, “Differential equations for two-loop four-point functions,” Nucl. Phys. B 580 (1), 485-518 (2000).
    doi 10.1016/S0550-3213(00)00223-6
  9. A. V. Smirnov, V. A. Smirnov, “Applying Gröbner bases to solve reduction problems for Feynman integrals,” J. High Energy Phys. No. 1, Article Number 001 (2006).
    doi 10.1088/1126-6708/2006/01/001
  10. A. V. Smirnov, “An Algorithm to construct Gröbner bases for solving integration by parts relations,” J. High Energy Phys. No. 4, Article Number 026 (2006).
    doi 10.1088/1126-6708/2006/04/026
  11. B. Buchberger, “Bruno Buchberger’s PhD thesis 1965: An algorithm for finding the basis elements of the residue class ring of a zerodimensional polynomial ideal,” J. Symbolic Comput. 41, 475-511 (2006).
    doi 10.1016/j.jsc.2005.09.007
  12. A. V. Smirnov, “Algorithm FIRE -- Feynman Integral REduction,” J. High Energy Phys. No. 10, Article Number 107 (2008).
    doi 10.1088/1126-6708/2008/10/107
  13. C. Studerus, “Reduze -- Feynman Integral Reduction in C++,” Comput. Phys. Commun. 181 (7), 1293-1300 (2010).
    doi 10.1016/j.cpc.2010.03.012
  14. A. von Manteuffel, C. Studerus, “Reduze 2 - Distributed Feynman Integral Reduction,” arXiv: 1201.4330 [hep-ph] (2012).
    doi 10.48550/arXiv.1201.4330
  15. R. N. Lee, “LiteRed 1.4: a powerful tool for reduction of multiloop integrals,” J. Phys. Conf. Ser. 523, Article Number 012059 (2014).
    doi 10.1088/1742-6596/523/1/012059
  16. R. N. Lee, “Presenting LiteRed: a tool for the Loop InTEgrals REDuction,” arXiv: 1212.2685 [hep-ph] (2012).
    doi 10.48550/arXiv.1212.2685
  17. A. V. Smirnov, V. A. Smirnov, “FIRE4, LiteRed and accompanying tools to solve integration by parts relations,” Comput. Phys. Commun. 184 (12), 2820-2827 (2013).
    doi 10.1016/j.cpc.2013.06.016
  18. A. Pak, “The toolbox of modern multi-loop calculations: novel analytic and semi-analytic techniques,” J. Phys. Conf. Ser. 368, Article Number 012049 (2012).
    doi 10.1088/1742-6596/368/1/012049
  19. B. Ruijl, T. Ueda and J. A. M. Vermaseren, “Forcer, a Form program for the parametric reduction of four-loop massless propagator diagrams,” Comput. Phys. Commun. 253, Article Number 107198 (2020).
    doi 10.1016/j.cpc.2020.107198
  20. A. V. Smirnov, “FIRE5: A C++ implementation of Feynman Integral REduction,” Comput. Phys. Commun. 189, 182-191 (2015).
    doi 10.1016/j.cpc.2014.11.024
  21. P. Maierhöfer, J. Usovitsch and P. Uwer, “Kira -- A Feynman integral reduction program,” Comput. Phys. Commun. 230, 99-112 (2018).
    doi 10.1016/j.cpc.2018.04.012
  22. A. V. Smirnov, F. S. Chukharev, “FIRE6: Feynman Integral REduction with modular arithmetic,” Comput. Phys. Commun. 247, Article Number 106877 (2020).
    doi 10.1016/j.cpc.2019.106877
  23. J. Klappert, F. Lange, P. Maierhöfer, and J. Usovitsch, “Integral reduction with Kira 2.0 and finite field methods,” Comput. Phys. Commun. 266, Article Number 108024 (2021).
    doi 10.1016/j.cpc.2021.108024
  24. J. Klappert and F. Lange, “Reconstructing rational functions with FireFly,” Comput. Phys. Commun. 247, Article Number 106951 (2020).
    doi 10.1016/j.cpc.2019.106951
  25. J. Klappert, S. Y. Klein, and F. Lange, “Interpolation of dense and sparse rational functions and other improvements in FireFly,” Comput. Phys. Commun. 264, Article Number 107968 (2021).
    doi 10.1016/j.cpc.2021.107968
  26. A. V. Smirnov and Mao Zeng, “FIRE 6.5: Feynman integral reduction with new simplification library,” Comput. Phys. Commun. 302, Article Number 109261 (2024).
    doi 10.1016/j.cpc.2024.109261
  27. K. S. Mokrov, A. V. Smirnov, and Mao Zeng, “Rational Function Simplification for Integration-by-Parts Reduction and Beyond,” Numerical Methods and Programming 24 (4), 352-367 (2023).
    doi 10.26089/NumMet.v24r425
  28. Symbolica | Modern Computer Algebra.
    https://symbolica.io . Cited October 27, 2025.
  29. FLINT: Fast Library for Number Theory.
    https://flintlib.org . Cited October 27, 2025.
  30. F. Lange, J. Usovitsch, and Z. Wu, “Kira 3: integral reduction with efficient seeding and optimized equation selection,” arXiv: 2505.20197 [hep-ph] (2025).
    doi 10.48550/arXiv.2505.20197
  31. A. V. Smirnov, Mao Zeng, “FIRE 7: Automatic Reduction with Modular Approach,” arXiv: 2510.07150 [hep-ph] (2025).
    doi 10.48550/arXiv.2510.07150
  32. A. von Manteuffel and R. M. Schabinger, “A novel approach to integration by parts reduction,” Phys. Lett. B 744, 101-104 (2015).
    doi 10.1016/j.physletb.2015.03.029
  33. Z. Wu, J. Boehm, R. Ma, H. Xu, and Y. Zhang, “NeatIBP 1.0, a package generating small-size integration-by-parts relations for Feynman integrals,” Comput. Phys. Commun. 295, Article Number 108999 (2024).
    doi 10.1016/j.cpc.2023.108999
  34. Z. Wu, J. Böhm, R. Ma, J. Usovitsch, Y. Xu, and Y. Zhang, “Performing integration-by-parts reductions using NeatIBP 1.1 + Kira,” arXiv: 2502.20778 [hep-ph] (2025).
    doi 10.48550/arXiv.2502.20778
  35. X. Guan, X. Liu, Y.-Q. Ma, and W.-H. Wu, “Blade: A package for block-triangular form improved Feynman integrals decomposition,” Comput. Phys. Commun. 310, Article Number 109538 (2025).
    doi 10.1016/j.cpc.2025.109538

Лицензия

Copyright (c) 2025 А. В. Смирнов, В. А. Смирнов

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.