Алгоритмизированный численный поиск стационарных решений системы двух нелинейных уравнений Шрёдингера с дополнительным двухъямным потенциалом

Аннотация

Рассматриваются стационарные решения системы двух связанных нелинейных уравнений Шрёдингера с дополнительным двухъямным потенциалом. В теории конденсата Бозе-Эйнштейна (БЭК) эти уравнения известны как уравнения Гросса-Питаевского, а рассматриваемая система описывает динамику сигарообразного облака БЭК, состоящего из атомов двух типов. Стационарные решения этой системы, называемые нелинейными модами, удовлетворяют системе двух неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка. Задача ставится следующим образом: необходимо (а) найти все локализованные (то есть, стремящиеся к нулю на плюс и минус бесконечности) решения этой системы ОДУ, существующие одновременно при заданных значениях параметров, и (б) обосновать полноту проведенного поиска. В данной работе для решения этой задачи используется метод исключения сингулярных решений, предложенный в предшествующих работах нашей группы. Он состоит в сканировании некоторой области в пространстве начальных данных задачи Коши. При этом сканировании решения, уходящие на бесконечность при конечном значении аргумента (сингулярные решения), выявляются и исключаются из рассмотрения, и фиксируются решения, не являющиеся сингулярными.  Диагностика сингулярностей и критерий остановки процесса сканирования основываются на математически строгих утверждениях. Таким образом определены области параметров задачи, в которых существуют нелинейные моды различных типов ("светлый-тёмный солитон", "тёмный-тёмный солитон" и др).