DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v26r212

Приближенное интегрирование задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом рядов Чебышева с контролем точности

Авторы

  • С. Ф. Залеткин

Ключевые слова:

обыкновенные дифференциальные уравнения
приближенные аналитические методы
численные методы
ортогональные разложения
смещенные ряды Чебышёва
квадратурные формулы Маркова
полиномиальная аппроксимация
контроль точности
оценка погрешности
автоматическое управление длиной шага

Аннотация

Рассматривается приближенный метод решения задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на применении смещенных рядов Чебышева и квадратурной формулы Маркова. Приведены способы оценки погрешности приближенного решения и его производной, выраженных в виде частичных сумм смещенных рядов Чебышева некоторого порядка. Погрешность оценивается с помощью второго приближенного решения, вычисленного специальным образом и представленного частичной суммой ряда более высокого порядка. На основе предложенных способов оценки погрешности построен алгоритм автоматического разбиения промежутка интегрирования на элементарные сегменты, что делает возможным вычисление приближенного решения и его производной с наперед заданной точностью.

Загрузки

Опубликован

2025-04-28

Выпуск

Том 26 (2025): Выпуск 2.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Автор

С. Ф. Залеткин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 1, стр. 4, 119234, Москва
• старший научный сотрудникй

Библиографические ссылки

  1. S. F. Zaletkin, “Numerical Integration of Ordinary Differential Equations Using Orthogonal Expansions,” Mat. Model. 22 (1), 69-85 (2010).
  2. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Application of Orthogonal Expansions for Approximate Integration of Ordinary Differential Equations,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 4, 40-43 (2010) [Moscow Univ. Math. Bull. 65 (4), 172-175 (2010)].
    doi 10.3103/S0027132210040078
  3. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Calculation of Expansion Coefficients of Series in Chebyshev Polynomials for a Solution to a Cauchy Problem,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No 5, 24-30 (2012) [Moscow Univ. Math. Bull. 67 (5-6), 211-216 (2012)].
    doi 10.3103/S0027132212050051
  4. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “To the Orthogonal Expansion Theory of the Solution to the Cauchy Problem for Second-Order Ordinary Differential Equations,” Numerical Methods and Programming 19 (2), 178-184 (2018).
  5. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “An Implementation of the Chebyshev Series Method for the Approximate Analytical Solution of Second-Order Ordinary Differential Equations,” Numerical Methods and Programming 20 (2), 97-103 (2019).
    doi 10.26089/NumMet.v20r210
  6. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “Application of Markov’s Quadrature in Orthogonal Expansions,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 6, 18-22 (2009) [Moscow Univ. Math. Bull. 64 (6), 244-248 (2009)].
    doi 10.3103/S0027132209060035
  7. S. F. Zaletkin, “Markov’s Formula with Two Fixed Nodes for Numerical Integration and Its Application in Orthogonal Expansions,” Numerical Methods and Programming 6 (3), 1-17 (2005).
  8. C. Lanczos, Applied Analysis (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1956; Fizmatgiz, Moscow, 1961).
  9. R. W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers (McGraw-Hill, New York, 1962; Nauka, Moscow, 1972).
  10. S. Paszkowski, Numerical Applications of Chebyshev Polynomials and Series (PWN, Warsaw, 1975; Nauka, Moscow, 1983).
  11. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “An Error Estimate for an Approximate Solution to Ordinary Differential Equations Obtained Using the Chebyshev Series,” Numerical Methods and Programming 21 (3), 241-250 (2020).
    doi 10.26089/NumMet.v21r321
  12. N. N. Kalitkin and P. V. Koryakin, Numerical Methods Vol. 2: Methods of Mathematical Physics (Akademiya, Moscow, 2013) [in Russian].
  13. E. Hairer, S. P. Norsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems (Springer, Berlin, 1987; Mir, Moscow, 1990).
  14. N. M. Ershov, Differential Equations in Applied Problems (DMK Press, Moscow, 2021) [in Russian].
  15. M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables (Dover Publ., New York, 1970; Nauka, Moscow, 1979).
  16. I. N. Bronshtein and K. A. Semendyaev, Mathematical Handbook for Engineers and Students (Nauka, Moscow, 1986) [in Russian].
  17. N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods (Nauka, Moscow, 1987) [in Russian].
  18. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations in Fortran (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 1990) [in Russian].
  19. R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics , Volumes 1-3 (Addison-Wesley, Boston, 2005).

Лицензия

Copyright (c) 2025 С. Ф. Залеткин

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.