Применение сплайновых аппроксимаций второго порядка к решению интегральных уравнений второго рода

Аннотация

Локальные интерполяционные сплайны используются для решения различных задач, таких как интерполяция, аппроксимация, решение краевых задач, решение интегральных уравнений. Полиномиальные кусочно-линейные сплайны известны давно и являются частным случаем непрерывных локальных сплайнов максимального дефекта. Неполиномиальные локальные сплайны были построены и изучены авторами ранее. Аппроксимация кусочно-гладкой функции полиномиальными и неполиномиальными сплайнами строится на каждом интервале сетки отдельно как сумма произведений базисных сплайнов и значений функции в узлах сетки. Формулы базисных сплайнов находятся в аналитическом виде путем решения системы аппроксимационных тождеств. Предлагаемый численный метод решения интегральных уравнений Фредгольма использует полиномиальные или неполиномиальные сплайны второго порядка аппроксимации. Основа предлагаемого метода — вычисление интегралов от произведения ядра и базисных функций. Наилучший результат будет получен, если предположить, что функция (т.е. решение интегрального уравнения) является как минимум дважды дифференцируемой функцией. Сравнение рассматриваемого метода с известными численными методами решения интегральных уравнений (например, методами, основанными на использовании составных квадратурных формул трапеций и средних прямоугольников) показывает, что предлагаемый метод может дать существенно меньшую погрешность вычислений. Погрешность вычислений может быть уменьшена за счет того, что во многих случаях интегралы могут быть вычислены точно. Если интегралы затруднительно вычислить точно, то для их вычисления можно использовать различные квадратурные формулы. К преимуществам использования локальных полиномиальных и неполиномиальных сплайнов второго порядка аппроксимации следует также отнести удобство их применения на неравномерной сетке узлов. Представлены результаты численного решения линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма.