Об особенностях численной диагностики мгновенного разрушения решения на примере решения уравнения медленной диффузии

Авторы

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r106

Ключевые слова:

дифференциальные уравнения в частных производных, численная диагностика разрушения решения, мгновенное разрушение, некорректно поставленные задачи

Аннотация

В работе демонстрируется, как метод апостериорной оценки порядка точности разностной схемы по Ричардсону позволяет сделать вывод о некорректности постановки (в смысле отсутствия решения) решаемой численно начально-краевой задачи для уравнения в частных производных. Это актуально в ситуации, когда аналитическое доказательство некорректности постановки ещё не получено или принципиально невозможно.

Авторы

И.В. Пригорный

А.А. Панин

Д.В. Лукьяненко

Библиографические ссылки

  1. E. Mitidieri and S. I. Pokhozhaev, “A Priori Estimates and Blow-up of Solutions to Nonlinear Partial Differential Equations and Inequalities,” Tr. Mat. Inst. Im. V.A. Steklova, Ross. Akad. Nauk 234, 3-383 (2001) [Proc. Steklov Inst. Math. 234, 1-362 (2001)].
  2. H. A. Levine, “Some Nonexistence and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of the Form Put = -Au + F(u),” Arch. Rational Mech. Anal. 51 (5), 371-386 (1973).
  3. V. K. Kalantarov and O. A. Ladyzhenskaya, “The Occurrence of Collapse for Quasilinear Equations of Parabolic and Hyperbolic Types,” Zap. Nauch. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova 69, 77-102 (1977) [J. Math. Sci. 10 (1), 53-70 (1978)].
  4. A. G. Sveshnikov, A. B. Al’shin, M. O. Korpusov, and Yu. D. Pletner, Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type (Fizmatlit, Moscow, 2007) [in Russian].
  5. M. O. Korpusov, Blow-up in Nonclassical Wave Equations (Editorial, Moscow, 2010) [in Russian].
  6. M. O. Korpusov, “Blow-up of Ion Acoustic Waves in a Plasma,” Mat. Sb. 202 (1), 37-64 (2011) [Sb. Math. 202 (1), 35-60 (2011)].
  7. M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, and E. V. Yushkov, Methods of the Theory of Solution Blow-Up for Nonlinear Equations of Mathematical Physics (Faculty of Physics, Moscow Univ., Moscow, 2014) [in Russian].
  8. A. A. Samarskii, V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, and A. P. Mikhailov, Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations (Nauka, Moscow, 1987; Gruyter, Berlin, 1995).
  9. V. A. Galaktionov and S. I. Pohozaev, “Third-Order Nonlinear Dispersive Equations: Shocks, Rarefaction, and Blowup Waves,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 48 (10), 1819-1846 (2008) [Comput. Math. Math. Phys. 48 (10), 1784-1810 (2008)].
  10. D. E. Pelinovsky and C. Xu, “On Numerical Modelling and the Blow-up Behavior of Contact Lines with a 180° Contact Angle,” J. Eng. Math. 92, 31-44 (2015).
  11. A. Cangiani, E. H. Georgoulis, I. Kyza, and S. Metcalfe, “Adaptivity and Blow-up Detection for Nonlinear Evolution Problems,” arXiv preprint: 1502.03250v1 [math.NA] (Cornell Univ. Library, Ithaca, 2015), available at
    https://arxiv.org/abs/1502.03250/.
  12. C.-H. Cho, “Numerical Detection of Blow-up: A New Sufficient Condition for Blow-up,” Japan J. Indust. Appl. Math. 33 (1), 81-98 (2016).
  13. R. Haynes and C. Turner, “A Numerical and Theoretical Study of Blow-up for a System of Ordinary Differential Equations Using the Sundman Transformation,” Atl. Electron. J. Math. 2 (1), 1-13 (2007).
  14. M. Berger and R. V. Kohn, “A Rescaling Algorithm for the Numerical Calculation of Blowing-up Solutions,” Commun. Pure Appl. Math. 41 (6), 841-863 (1988).
  15. M. O. Korpusov and D. V. Lukyanenko, “Instantaneous Blow-up Versus Local Solvability for One Problem of Propagation of Nonlinear Waves in Semiconductors,” J. Math. Anal. Appl. 459 (1), 159-181 (2018).
  16. M. O. Korpusov, “Critical Exponents of Instantaneous Blow-up or Local Solubility of Non-Linear Equations of Sobolev Type,” Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 79 (5), 103-162 (2015) [Izv. Math. 79 (5), 955-1012 (2015)].
  17. M. O. Korpusov and A. A. Panin, “Instantaneous Blow-up Versus Local Solubility of the Cauchy Problem for a Two-Dimensional Equation of a Semiconductor with Heating,” Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 83 (6), 104-132 (2019) [Izv. Math. 83 (6), 1174-1200 (2019)].
  18. G. A. Sviridyuk, “On the General Theory of Operator Semigroups,” Usp. Mat. Nauk 49 (4), 47-74 (1994) [Russ. Math. Surv. 49 (4), 45-74 (1994)].
  19. M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, and A. A. Panin, “Instantaneous Blow-up Versus Local Solvability of Solutions to the Cauchy Problem for the Equation of a Semiconductor in a Magnetic Field,” Math. Meth. Appl. Sci. 41 (17), 8070-8099 (2018).
  20. V. A. Vasilchenko, M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, and A. A. Panin, “A Study of Self-Oscillation Instability in Varicap-Based Electrical Networks: Analytical and Numerical Approaches,” Vychisl. Metody Programm. 20 (3), 323-336 (2019).
  21. I. I. Kolotov and A. A. Panin, “On Nonextendable Solutions and Blow-Ups of Solutions of Pseudoparabolic Equations with Coercive and Constant-Sign Nonlinearities: Analytical and Numerical Study,” Mat. Zametki 105 (5), 708-723 (2019) [Math. Notes 105 (5), 694-706 (2019)].
  22. M.-N. Le Roux, “Numerical Solution of Fast Diffusion or Slow Diffusion Equations,” J. Comput. Appl. Math. 97 (1-2), 121-136 (1998).
  23. J. G. Berryman and C. J. Holland, “Stability of the Separable Solution for Fast Diffusion,” Arch. Rational Mech. Anal. 74 (4), 379-388 (1980).
  24. E. A. Alshina, N. N. Kalitkin, and P. V. Koryakin, “Diagnostics of Singularities of Exact Solutions in Computations with Error Control,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 45 (10), 1837-1847 (2005) [Comput. Math. Math. Phys. 45 (10), 1769-1779 (2005)].
  25. N. N. Kalitkin, A. B. Al’shin, E. A. Al’shina, and B. V. Rogov, Calculations on Quasi-Uniform Grids (Fizmatlit, Moscow, 2005) [in Russian].
  26. A. B. Al’shin and E. A. Al’shina, “Numerical Diagnosis of Blow-up of Solutions of Pseudoparabolic Equations,” J. Math. Sci. 148 (1), 143-162 (2008).
  27. J. Hoffman and C. Johnson, “Blow up of Incompressible Euler Solutions,” BIT Numer. Math. 48 (2), 285-307 (2008).
  28. E. Hairer and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations. Stiff and Differential-Algebraic Problems (Springer, Berlin, 2002).
  29. N. N. Kalitkin, “Numerical Methods of Solution of Stiff Systems,” Mat. Model. 7 (5), 8-11 (1995).
  30. H. H. Rosenbrock, “Some General Implicit Processes for the Numerical Solution of Differential Equations,” Comput. J. 5 (4), 329-330 (1963).
  31. A. B. Al’shin, E. A. Al’shina, N. N. Kalitkin, and A. B. Koryagina, “Rosenbrock Schemes with Complex Coefficients for Stiff and Differential Algebraic Systems,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 46 (8), 1392-1414 (2006) [Comput. Math. Math. Phys. 46 (8), 1320-1340 (2006)].

Загрузки

Опубликован

2021-03-21

Как цитировать

Пригорный И.В., Панин А.А., Лукьяненко Д.В. Об особенностях численной диагностики мгновенного разрушения решения на примере решения уравнения медленной диффузии // Вычислительные методы и программирование. 2021. 22. 77-86. doi 10.26089/NumMet.v22r106

Выпуск

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения