Мультипольный алгоритм численного решения дробно-дифференциального обобщения уравнения Гельмгольца

Авторы

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r208

Ключевые слова:

дробно-дифференциальное обобщение уравнения Гельмгольца, дробная степень оператора Лапласа, фундаментальное решение, мультипольное разложение, метод мультиполей, численный алгоритм

Аннотация

Рассматривается задача построения эффективного численного алгоритма решения дробно-дифференциального обобщения неоднородного уравнения Гельмгольца с дробной степенью оператора Лапласа. Построено мультипольное разложение, основанное на факторизации фундаментального решения рассматриваемого уравнения. Предложен способ нахождения значений функций Фокса, входящих в представленное мультипольное разложение. Разработана модификация мультипольного алгоритма для решения рассматриваемого дробно-дифференциального обобщения уравнения Гельмгольца. Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность предложенных алгоритмов.

Автор

Н.С. Белевцов

Уфимский государственный авиационный технический университет,
ул. Карла Маркса, 12, 450008, Уфа
• инженер-исследователь

Библиографические ссылки

  1. S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications (Nauka Tekh., Minsk, 1987; Gordon and Breach, Yverdon, 1993).
  2. V. V. Uchaikin, Method of Fractional Derivatives (Artishok, Ul’yanovsk, 2008) [in Russian].
  3. R. Raghavan, “Fractional Diffusion: Performance of Fractured Wells,” J. Petrol. Sci. Eng. 92-93, 167-173 (2012).
  4. D. Stan, F. del Teso, and J. L. Vázquez, “Finite and Infinite Speed of Propagation for Porous Medium Equations with Nonlocal Pressure,” J. Differ. Equ. 260 (2), 1154-1199 (2016).
  5. C. Pozrikidis, The Fractional Laplacian (CRC Press, Boca Raton, 2016).
  6. A. V. Abramyan, V. A. Nogin, and S. G. Samko, “Fractional Powers of the Operator -|x|²Δ in Lp Spaces,” Differ. Uravn. 32 (2), 275-276 (1996) [Differ. Equ. 32 (2), 281-283 (1996)].
  7. B. Barrios, E. Colorado, A. De Pablo, and U. Sánchez, “On Some Critical Problems for the Fractional Laplacian Operator,” J. Differ. Equ. 252 (11), 6133-6162 (2012).
  8. H. Chen, P. Felmer, and A. Quaas, “Large Solutions to Elliptic Equations Involving Fractional Laplacian,” Annales de l’Institut Henri Poincaré (C), Analyse Non Linéaire 32 (6), 1199-1228 (2015). doi 10.1016/j.anihpc.2014.08.00
  9. J. L. Vázquez, A. de Pablo, F. Quirós, and A. Rodriguez, “Classical Solutions and Higher Regularity for Nonlinear Fractional Diffusion Equations,” J. Eur. Math. Soc. 19 (7), 1949-1975 (2017).
  10. E. C. Aifantis, “Fractional Generalizations of Gradient Mechanics,” in Handbook of Fractional Calculus with Applications (De Gruyter, Berlin, 2019), Vol. 4, pp. 241-262.
  11. A. D. Polyanin, Linear Equations of Mathematical Physics (Fizmatlit, Moscow, 2001) [in Russian].
  12. L. Greengard and V. Rokhlin, “A Fast Algorithm for Particle Simulations,” J. Comput. Phys. 135 (2), 280-292 (1997).
  13. N. A. Gumerov and R. Duraiswami, Fast Multipole Methods for the Helmholtz Equation in Three Dimensions (Elsevier, Amsterdam, 2005).
  14. N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, “Multipole Expansion of the Fundamental Solution of a Fractional Degree of the Laplace Operator,” in Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Prilozh., Temat. Obz. (VINITI, Moscow, 2020), Vol. 176, pp. 26-33.
  15. N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, “A Parallel Numerical Algorithm for Solving Fractional Poisson Equation,” in Proc. Int. Conf. on Parallel Computational Technologies, Kaliningrad, Russia, April 2-April 4, 2019 (South Ural State Univ., Chelyabinsk, 2019), pp. 165-174.
  16. N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, “Factorization of the Fundamental Solution to Fractional Helmholtz Equation,” Lobachevskii J. Math. 42 (1), 57-62 (2021).
  17. A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and Series , Vol. 2: Special Functions (Nauka, Moscow, 1983; Gordon and Breach, New York, 1986).
  18. A. A. Kilbas and M. Saigo, H-transforms: Theory and Applications (CRC Press, Boca Raton, 2004).
  19. R. Gorenflo, J. Loutchko, and Y. Luchko, “Computation of the Mittag-Leffler Function Eα, β(z) and Its Derivative,” Fract. Calc. Appl. Anal. 5 (4), 491-518 (2002).
  20. Y. Luchko, “Algorithms for Evaluation of the Wright Function for the Real Arguments’ Values,” Fract. Calc. Appl. Anal. 11 (1), 57–-75 (2008).
  21. R. D. Mindlin and N. N. Eshel, “On First Strain-Gradient Theories in Linear Elasticity,” Int. J. Solids Struct. 4 (1), 109-124 (1968).
  22. C. Q. Ru and E. C. Aifantis, “A Simple Approach to Solve Boundary-Value Problems in Gradient Elasticity,” Acta Mech. 101 (1), 59-68 (1993).
  23. B. G. Korenev, Introduction to the Theory of Bessel Functions (Nauka, Moscow, 1971) [in Russian].

Загрузки

Опубликован

17-05-2021

Как цитировать

Белевцов Н.С. Мультипольный алгоритм численного решения дробно-дифференциального обобщения уравнения Гельмгольца // Вычислительные методы и программирование. 2021. 22. 109-120. doi 10.26089/NumMet.v22r208

Выпуск

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения