DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r321

Об оценке погрешности приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, определенного с помощью рядов Чебышёва

Авторы

  • О.Б. Арушанян
  • С.Ф. Залеткин

Ключевые слова:

обыкновенные дифференциальные уравнения
приближенные аналитические методы
численные методы
ортогональные разложения
смещенные ряды Чебышёва
квадратурные формулы Маркова
полиномиальная аппроксимация
контроль точности
оценки ошибок
автоматический выбор шага

Аннотация

Рассматривается приближенный метод решения задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, основанный на применении смещенных рядов Чебышёва и квадратурной формулы Маркова. Приведены способы оценки погрешности приближенного решения, выраженного в виде частичной суммы ряда некоторого порядка. Погрешность оценивается с помощью второго приближенного решения, вычисленного специальным образом и представленного частичной суммой ряда более высокого порядка. На основе предложенных способов оценки погрешности построен алгоритм автоматического разбиения промежутка интегрирования на элементарные сегменты, делающие возможным вычисление приближенного решения с наперед заданной точностью. Работа метода проиллюстрирована примерами, в том числе примером из небесной механики.

Новые вычислительные технологии

Загрузки

Опубликован

2020-09-27

Выпуск

Том 21 (2020): Выпуск 3.

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Авторы

О.Б. Арушанян

МГУ имени М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 119991, Москва
• заведующий лабораторией

С.Ф. Залеткин

МГУ имени М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский вычислительный центр
Ленинские горы, 119991, Москва
• старший научный сотрудник

Библиографические ссылки

  1. S. K. Tatevyan, N. A. Sorokin, and S. F. Zaletkin, “Markov’s Formula for Numerical Integration and Its Application in Orthogonal Expansions,” Vychisl. Metody Programm. 2, 131-158 (2001).
  2. S. F. Zaletkin, “Markov’s Formula with Two Fixed Nodes for Numerical Integration and Its Application in Orthogonal Expansions,” Vychisl. Metody Programm. 6, 1-17 (2005).
  3. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “Calculation of Expansion Coefficients of Series in Chebyshev Polynomials for a Solution to a Cauchy Problem,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat. Mekh., No. 5, 24-30 (2012) [Moscow Univ. Math. Bull. 67 (5-6), 211-216 (2012)].
  4. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “A Method of Solving the Cauchy Problem for Ordinary Differential Equations Using Chebyshev Series,” Vychisl. Metody Programm. 14, 203-214 (2013).
  5. O. B. Arushanyan, N. I. Volchenskova, and S. F. Zaletkin, “On an Approximate Analytical Method of Solving Ordinary Differential Equations,” Vychisl. Metody Programm. 16, 235-241 (2015).
  6. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “Approximate Solution of the Cauchy Problem for Ordinary Differential Equations by the Method of Chebyshev Series,” Vychisl. Metody Programm. 17, 121-131 (2016).
  7. O. B. Arushanyan and S. F. Zaletkin, “On Solvability of a Nonlinear System of Equations for the Fourier-Chebyshev Coefficients in the Problem of Solving Ordinary Differential Equations Using Chebyshev Series,” Vychisl. Metody Programm. 18, 169-174 (2017).
  8. E. Hairer, S. P. Nörsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations. I. Nonstiff Problems (Springer, Berlin, 1987; Mir, Moscow, 1990).
  9. R. England, “Error Estimates for Runge-Kutta Type Solutions to Systems of Ordinary Differential Equations,” Comput. J. 12 (2), 166-170 (1969).
  10. N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods (Binom, Moscow, 2007) [in Russian].
  11. C. W. Gear, Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations (Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1971).