О методе расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с приложением к нелинейным задачам геоэлектрики

Авторы

  • М.И. Шимелевич Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ) https://orcid.org/0000-0002-6203-5132

DOI:

https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r430

Ключевые слова:

обратная задача, модуль непрерывности оператора, априорные и апостериорные оценки, метод Монте-Карло, геоэлектрика

Аннотация

Рассматриваются априорные оценки неоднозначности (погрешности) приближенных решений условно-корректных нелинейных обратных задач, основанные на модуле непрерывности обратного оператора и его модификациях. Установлена связь модуля непрерывности обратного оператора с разрешающей способностью геофизического метода. Показано, что в классе кусочно-постоянных решений, определенных на заданной сетке параметризации, модуль непрерывности обратного оператора и его модификации монотонно возрастают с увеличением размерности сетки. Предложен метод построения оптимальной сетки параметризации, которая имеет максимальную размерность при условии, что модуль непрерывности обратного оператора не превышает заданной величины. Представлен численный алгоритм расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с использованием алгоритмов Монте-Карло, исследуются вопросы сходимости алгоритма. Предлагаемый метод применим также для расчета классических апостериорных оценок погрешности. Приводятся численные примеры для нелинейных обратных задач геоэлектрики.

Автор

М.И. Шимелевич

Библиографические ссылки

  1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
  2. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. 61, № 2. 211–223.
  3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
  4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
  5. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
  6. Новик О.Б. Математические вопросы сокращения числовой геофизической информации при поисках нефти и газа. Деп. в ВИЭМС РАН 02.11.87, № 485–МГ. М.: ВИЭМС РАН, 1987.
  7. Шимелевич М.И. Некоторые оптимизационные алгоритмы решения обратных задач электромагнитных зондирований. Деп. в ВИЭМС РАН 16.10.89, № 796–МГ–89. М.: ВИЭМС РАН, 1989.
  8. Шимелевич М.И. Методы повышения устойчивости инверсии данных геоэлектрики на основе нейросетевого моделирования // Геофизика. 2013. № 4. 49–55.
  9. Шимелевич М.И., Оборнев Е.А., Оборнев И.Е., Родионов Е.А. Численные методы оценки степени практической устойчивости обратных задач геоэлектрики // Физика Земли. 2013. № 3. 58–64.
  10. Шимелевич М.И., Оборнев Е.А., Оборнев И.Е., Родионов Е.А. Аппроксимационный нейросетевой метод решения многомерных нелинейных обратных задач геофизики // Физика Земли. 2017. № 4. 100–109.
  11. Гончарский А.В. Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // Докл. АН СССР. 1969. 184, № 4. 771–773.
  12. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.
  13. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
  14. Yagola A.G., Dorofeev K.Yu. Sourcewise representation and a posteriori error estimates for ill-posed problems // Fields Institute Communications: Operator Theory and Its Applications. Vol. 25. Providence: AMS Press, 2000. 543–550.
  15. Dorofeev K.Yu., Yagola A.G. The method of extending compacts and a posteriori error estimates for nonlinear ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. 12, N 6. 627–636.
  16. Леонов А.С. Для каких обратных задач априорная оценка точности приближенного решения может иметь порядок ошибки данных // Сиб. журн. вычисл. матем. 2014. 17, № 4. 339–348.
  17. Леонов А.С. Апостериорные оценки точности решения некорректно поставленных обратных задач и экстраоптимальные регуляризующие алгоритмы их решения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2012. 15, № 1. 85–102.
  18. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. Новые апостериорные оценки погрешности приближенных решений нерегулярных операторных уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2014. 15. 359-369.
  19. Дмитриев В.И. Обратные задачи геофизики. М.: МАКС Пресс, 2012.
  20. Гласко В.Б., Старостенко В.И. Регуляризующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. № 3. 44–53.
  21. Страхов В.Н. О проблеме параметризации в обратных задачах гравиметрии // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1978. № 6. 39–49.
  22. Шимелевич М.И., Оборнев Е.А. Применение оптимизационного подхода в методике интерпретации данных МТЗ // Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 1997. № 2. 109–115.
  23. Леонов А.С., Ягола А.Г. Оптимальные методы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями // Журнал фундаментальной и прикладной математики. 1998. 4, № 5. 1029–1046.
  24. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.
  25. Табаринцева Е.В. Об оценке точности метода вспомогательных граничных условий при решении граничной обратной задачи для нелинейного уравнения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2018. 21, № 3. 291–310.
  26. Васин В.В. Модифицированный метод наискорейшего спуска для нелинейных нерегулярных операторных уравнений // Доклады АН. 2015. 462, № 3. 264–267.
  27. Шимелевич М.И. Алгоритмы расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с использованием методов Монте-Карло в приложении к геоэлектрике // Тезисы Международной конференции “Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2019”. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2019. https://elibrary.ru/item.asp?id=41893341.
  28. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. М.: ФАЗИС, 1997.
  29. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
  30. Ширяев А.Н. Вероятность. M: Изд-во МЦНМО, 2007.
  31. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.
  32. Варенцов И.М., Куликов В.А., Яковлев А.Г., Яковлев Д.В. Возможности методов магнитотеллурики в задачах рудной геофизики // Физика Земли, 2013. № 3, 9–29.
  33. Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры // Докл. АН СССР. 1950. 73, № 2. 295–297.
  34. Wiese H. Geomagnetische Tiefentellurik. Berlin: Geomagnet. Inst. Deutsch. Akad. Wiss., 1965.
  35. Schmucker U. Anomalies of geomagnetic variations in the southwestern United States. Berkley: Univ. California Press, 1970.
  36. Weidelt P. The inverse problem of geomagnetic induction // Zeitschrift f¨ur Geophysik. 1972. 38. 257-289.
  37. Бердичевский М.Н., Жданов М.С. Интерпретация аномалий переменного электромагнитного поля Земли. М.: Недра, 1981.
  38. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Модели и методы магнитотеллурики. М.: Научный мир, 2009.
  39. Жданов М.С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике. М.: Научный мир, 2007.
  40. Hohmann G.W. Three-dimensional EM modeling // Geophys. Surv. 6. 27–53. 1983.
  41. Дмитриев В.И. Прямые и обратные задачи электромагнитного зондирования трехмерной неоднородной среды // Физика Земли. 2013. № 3. 46–51.
  42. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М: Изд-во МГУ, 1969.
  43. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. М.: МАКС Пресс, 2008.
  44. Авдеев Д.Б. Метод интегральных уравнений для решения прямых задач геоэлектрики // Электромагнитные исследования земных недр. М.: Научный мир, 2005. 11–32.
  45. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Обратные задачи магнитотеллурики в современной постановке // Физика Земли. 2004. № 4. 12–29.
  46. Спичак В.В. Магнитотеллурические поля в трехмерных моделях геоэлектрики. М.: Научный мир, 1999.
  47. Юдин М.Н. Расчет магнитотеллурического поля методом сеток в трехмерно-неоднородных средах // Проблемы морских электромагнитных исследований. М.: ИЗМИР АН СССР, 1980. 96–101.
  48. Юдин М.Н. Альтернирующий метод численного решения прямых задач геоэлектрики // Математические методы в геоэлектрике. М.: ИЗМИР АН СССР, 1982. 47–52.
  49. Дмитриев В.И. О двумерной обратной задаче магнитотеллурического зондирования неоднородной среды // Прикладная математика и информатика. Серия Труды факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. Том 56. М.: МАКС Пресс, 2017. 5–17.
  50. Дмитриев В.И. О единственности решения трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования // Прикладная математика и информатика. Серия Труды факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. Том 57. М.: МАКС Пресс, 2018. 5–20.
  51. Дмитриева М.В. Численное моделирование физических процессов в плазме установок токамак при воздействии электромагнитных волн альфвеновского диапазона частот. Автореферат дисс. . . . к.ф.-м.н. М.: ИПМ АН СССР, 1985.
  52. Eisenstat S.C., Schultz M.H., Sherman A.H. Algorithms and data structures for sparse symmetric Gaussian elimination // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1981. 2, N 2. 225–237.
  53. Дмитриева М.В., Елфимов А.Г., Некрасов Ф.М. и др. Численное моделирование альфвеновского нагрева плазмы в торе. Препринт № 51. М.: ИПМ АН СССР, 1988.

Загрузки

Опубликован

2020-11-03

Как цитировать

Шимелевич М.И. О методе расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с приложением к нелинейным задачам геоэлектрики // Вычислительные методы и программирование. 2020. 21. 350-372. doi 10.26089/NumMet.v21r430

Выпуск

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения